单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一个方程的情形,方程组的情形,小结 思考题 作业,第五节 隐函数的求导法,第八章 多元函数微分法及其应用,1,一个方程的情形方程组的情形小结 思考题 作业第五节 隐,隐函数在实际问题中是常见的.,平面曲线方程,空间曲面方程,空间曲线方程,下面讨论如何由,隐函数方程,如,求偏导数.,隐函数的求导公式,2,隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程空间曲面方程空间曲,一、一个方程的情形,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的,链导法,给出隐函数(1),的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,隐函数的求导公式,3,一、一个方程的情形 在一元函数微分学中,隐函数存在定理1,隐函数的求导公式,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1),具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,(2),(3),恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边关于,x,求导,由,全导数公式,得,4,隐函数存在定理1隐函数的求导公式设二元函数的某一邻域内满足:,或简写:,于是得,隐函数的求导公式,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,5,或简写:于是得隐函数的求导公式所以存在的一个邻域,在这个邻域,如,方程,记,(1),的邻域内连续;,所以方程在点,附近确定一个有连续导数、,且,隐函数的求导公式,隐函数存在定理1,的隐函数,则,(2),(3),6,如,方程记(1)的邻域内连续;所以方程在点附近确定一个有连续,注意:,1.定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出.,2.定理的结论是局部的.,3.隐函数的导数仍含有x与y,理解:,4.定理的条件只是充分条件.如:,5.注意哪个是隐函数,哪个是自变量.,求高阶导时,利用复合函数的求导方法.,隐函数的求导公式,7,注意:1.定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出.2,解,令,则,隐函数的求导公式,例1,8,解令则隐函数的求导公式例18,则方程,内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的,并有,具有连续偏导数;,若三元函数,的某邻域内,函数,它满足条件,在点,在点,2.,由三元方程,确定二元隐函数,隐函数存在定理2,隐函数的求导公式,的某一邻域,(1),(2),(3),满足:,9,则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏,隐函数的求导公式,(证明从略)仅推导公式.,将恒等式,两边分别关于,x,和,y,求导,应用,复合函数求导,法,得,是方程,所确定的隐,设,函数,则,所以存在,的一个邻域,在这个邻域内,因为,连续,于是得,10,隐函数的求导公式(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于,例2.求由,确定的隐函数,的一阶偏导.,例3.设方程,确定了隐函数,其中,f有连续偏导.,证明:,隐函数的求导公式,11,例2.求由确定的隐函数的一阶偏导.例3.设方程确定,例4.设,求,注,对复合函数求高阶偏导数时,需注意:,导函数仍是复合函数.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.,隐函数的求导公式,12,例4.设求注对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是,隐函数的求导公式,解,法一,利用全微分.,例5,13,隐函数的求导公式解法一利用全微分.例513,隐函数的求导公式,解,法二,利用隐函数求导公式.,令,故,14,隐函数的求导公式解法二利用隐函数求导公式.令故14,二、方程组的情形,(隐函数组),下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的,确定两个,二元函数,求,故由方程组,求导方法.,隐函数的求导公式,15,二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组,将恒等式,两边关于,x,求偏导,解这个以,为未知量的线性方程组,由,链导法则,得:,隐函数的求导公式,求,16,将恒等式两边关于x求偏导,解这个以为未知量的线性方程组,由链,解得,当系数行列式不为零时,即,雅可比行列式,Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851,隐函数的求导公式,17,解得当系数行列式不为零时,即雅可比行列式Jacobi,C.G,同理,两边关于,y,求偏导,得,隐函数的求导公式,求,18,同理,两边关于y求偏导,得隐函数的求导公式求18,特,如果方程组,它可能确定两个,现假定它确定,且两个函数都,则求,的方法同前面求,的方法相同.,为,可微,别,一元函数,隐函数的求导公式,19,特如果方程组它可能确定两个现假定它确定且两个函数都则求的方法,例6,设方程组,确定函数,解,直接代入公式；,运用公式推导的方法.,原方程组两边分别对,法二,法一,x,求偏导数：,隐函数的求导公式,u,与,v,都视为,x,y,的二元函数,20,例6设方程组确定函数解直接代入公式；运用公式推导的方法.原方,解方程组得,移项得：,隐函数的求导公式,21,解方程组得移项得：隐函数的求导公式21,原方程组两边分别对,解方程组得,自己练,y,求偏导数：,隐函数的求导公式,22,原方程组两边分别对解方程组得自己练y求偏导数：隐函数的求导公,求,例7,解,法一,对,x,求偏导：,隐函数的求导公式,23,求例7解法一对 x求偏导：隐函数的求导公式23,对,y,求偏导,同理，,自己练.,隐函数的求导公式,24,对 y求偏导,同理，自己练.隐函数的求导公式24,法二,用全微分形式不变性,求,隐函数的求导公式,25,法二用全微分形式不变性求隐函数的求导公式25,隐函数的求导公式,26,隐函数的求导公式26,例8.设,变换下列方程:,隐函数的求导公式,27,例8.设变换下列方程:隐函数的求导公式27,解,法一,得,得,练习,隐函数的求导公式,两边,求全微分,两边,求全微分,28,解法一得得练习隐函数的求导公式两边求全微分,两边求全微分,2,法二,用公式:,隐函数的求导公式,29,法二用公式:隐函数的求导公式29,解,隐函数的求导公式,一阶连续导数和一阶连续偏导数,分别将,的两端对,x,求导,得,练习,30,解隐函数的求导公式一阶连续导数和一阶连续偏导数,分别将的两端,隐函数的求导公式,有连续偏导数,且,解,法一,则,用公式,故,而,所以,练习,31,隐函数的求导公式有连续偏导数,且解法一则用公式故而所以练习3,隐函数的求导公式,有连续偏导数,法二,用全微分,两边微分,得,故,故,32,隐函数的求导公式有连续偏导数,法二用全微分两边微分,得故故3,(以下三种情况),隐函数的求导法则,隐函数的求导公式,三、小结,33,(以下三种情况)隐函数的求导法则隐函数的求导公式三、小结33,思考题,分析,方程组中含有五个变量,由题意看出,是因变量,是自变量,y,究竟是因变量,还是自变量?,在这种所求偏导是,一阶,而又有,一变量的属性不太明确,的情况下,形式不变性来处理比较简便.,用全微分,隐函数的求导公式,34,思考题分析方程组中含有五个变量,由题意看出是因变量,是自变量,解答,的两边,求全微分,得,隐函数的求导公式,35,解答的两边求全微分,得隐函数的求导公式35,设,是由方程组,确定的函数,其中f,g均连续可微,且,求,隐函数的求导公式,思考,36,设是由方程组确定的函数,其中f,g均连续可微,且求隐函数的求,作业,隐函数的求导公式,证明:在变换 下方程,可转化为,补充,37,作业隐函数的求导公式 证明:在变换,