,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 数学能力及其培养,课标中的数学能力,2013.11.25,第五章 数学能力及其培养课标中的数学能力20,关于,10,个核心概念的分析,原课标也称为“关键词”,原课标：,数感 符号感 空间观念,（,6,个）,统计观念 应用意识 推理能力,修改后：,数感 符号意识,运算能力,（,10,个）,模型思想,空间观念,几何直观,推理能力,数据分析观念,应用意识,创新意识,关于10个核心概念的分析 原课标也称为“关键,核心概念有何意义？,首先，,标准,将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的。从这一意义上看，,核心概念往往是一类课程内容的核心或主线，,它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键。,核心概念有何意义？首先，标准将这些核心概念放在课程内容,第二，,这些核心概念都是数学课程的目标点，,也应该成为数学课堂教学的目标，仅以,“数学思考”,和,“问题解决”,部分的目标设定来看，,标准,就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。,第二，这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教,第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着数学的基本思想。,数学基本思想集中反映为,数学抽象、数学推理和数学模型思想。,比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。,第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着数学的基本思想。数学,第四，从这,10,个名词的指称来看，它们体现的都是学习主体,学生的特征，涉及的是学生在数学学习中,应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等,，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中,最应培养的数学素养，,是促进学生发展的重要方面。,所以，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。,第四，从这10个名词的指称来看，它们体现的都是学习主体学,核心概念之三：,空间观念,（,1,）空间观念的含义,空间观念,是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径,空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造,核心概念之三：空间观念（1）空间观念的含义,（,2,）,标准,中空间 观念所提出的要求,标准,从,四个方面,提出了要求：,根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；,想象出物体的方位和相互之间的位置关系；,描述图形的运动和变化；,依据语言的描述画出图形等。,（2）标准中空间 观念所提出的要求,核心概念之四：,几何直观,此次新增的核心概念,（,1,）对几何直观的认识,顾名思义，几何直观所指有两点：,一是几何,，在这里几何是指图形；,一是直观,，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来,几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象,。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。,核心概念之四：几何直观 此次新增的核心,（,2,）,标准,中,几何直观,的含义,标准,指出：“,几何直观是指利用图形描述和分析问题。,借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”,（2）标准中几何直观的含义标准指出：“几何直观是指,它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的,“图形表示”,和,“图形分析”,。,前者,指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；,后者,指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。,它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数,（,3,）几何直观的培养,使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题,可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：,能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，,尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观,（3）几何直观的培养,重视变换,让图形动起来,几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。,变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，,例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转,180,度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。,重视变换让图形动起来,学会从“数”与“形”两个角度认识数学,数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。,学会从“数”与“形”两个角度认识数学,例如，,若每两人握一次手，则,3,个人共握几次手，,4,个人共握几次手,，,n,个人共握几次手？,用归纳的方法探索规律，如下表,:,人数 握手次数 规律,2 1 1,3 3 1+2,4 6 1+2+3,n,1+2+3+(,n,-1),A,1,A,2,A,3,A,N,例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手，4个人共握几次手,对于七、八年级的学生来说，要发现“,1+2+3+(,n,-1)”,这个规律并不容易，计算,1+2+3+(,n,-1),得到,1/2,n,（,n,-1,）,也有困难。,但是，如果把,“人”,抽象成,“点”,，,“两人握,1,次手”,抽象成,“两点之间连接一条线段”,，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于,n,点中的任何一个点，它与其它的（,n-1,）个点共可连接（,n,-1,）条线段，因而,n,个点共可连接,n,（,n,-1,）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段,AB,与线段,BA,是同一条线段），所以共可连接,1/2,n,（,n,-1,）条线段。,对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+(n-1),用,“图形法”,解决问题,掌握、运用一些基本图形解决问题,把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。,在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果,，这应该成为教学中关注的目标。,用“图形法”解决问题 掌握、运用一些基本图形解决问题,核心概念之六：,运算能力,此次增加的核心概念,运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。,核心概念之六：运算能力 此次增加,（,1,）标准对运算能力的要求,标准,指出：,运算能力,主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题,。,（1）标准对运算能力的要求标准指出：运算能力主要是指能够,（,2,）对运算能力的认识,运算的,正确、有据、合理、简洁,是运算能力的主要特征。,运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，,运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。,（2）对运算能力的认识运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力,核心概念之七：,推理能力,此次,标准,提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：,一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。,标准,指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。,它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。,核心概念之七：推理能力 此次标准提出,突出了合情推理与演绎推理,二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出,在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成,合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,引导学生多经历“猜想,证明”的问题探索过程,突出了合情推理与演绎推理引导学生多经历“猜想证明”的问题,三是强调推理能力的培养,“应贯穿于整个数学学习过程中”。,其一,，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，,其二,，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程,其三,，它应贯穿于整个数学学习的环节,也应,贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展,三是强调推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。其一,通过多样化的活动，培养学生的推理能力,反思传统教学,，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。,通过多样化的活动，培养学生的推理能力,标准,强调通过多样化的活动,来培养学生的推理能力。如,标准,提出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，,”（总目标），“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）,标准强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如标准,使学生多经历 “猜想,证明”的问题探索过程,在“猜想,证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用,合情推理,发现结论、用,演绎推理,证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。,教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。,使学生多经历 “猜想证明”的问题探索过程在“猜想,核心概念之十：,创新意识,创新意识,的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。,学生自己发现和提出问题是创新的,基础,；独立思考、学会思考是创新的,核心,；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要,方法,。,创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。,核心概念之十：创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,从,基础、核心、方法,三个方面指明了创新意识的要素。这为我们培养学生创新意识提出了几个基本的切入点和路径，使创新意识的培养落在了比较实在的载体上，,即围绕这,三个要素，,教师应紧紧抓住,“数学问题”、“学会思考”、“猜想、验证”,这几个点，做足教学中的“文章”，创新意识培养的目标就有可能得到落实。,从基础、核心、方法三个方面指明了创新意识的要素。这为我们培养,目标点二：,为何要强调 发现问题、提出问题？,在数学中，发现结论常常比证明结论更重要,创新性的成果往往始于问题,传统教学在这方面的不足,问题解决的全过程是发现、提出