单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,10-,*,W Y,第十章目录,1,差分方法的基本概念,1.1,偏微分方程的定解问题,1.2,差分方法的基本概念,2,椭圆型方程第一边值的差分方法,2.1,差分格式的建立,2.2,差分格式解的存在唯一性,3,抛物型方程的差分解法及其稳定性,3.1,差分格式的建立,3.2,差分格式的稳定性,4,双曲型方程的差分解法,4.1,几种简单的差分格式,4.2,差分格式的收敛性与稳定性,1,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,补充知识,“高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：,其中：,1.,2.,满足：,2,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,补充知识,（续,1,）,3.2,s,in(x+2y-3z)=x+2y-3z,满足：,4.,满足：,5.,满足：,6.,满足：,上面是已知函数，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。,3,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,因此,偏微分方程,：,1.,含偏微分的等式，,2.,求解偏微分方程、求含多个自变量的函数,3.,带有初值、边界条件。,常微分方程,的求解已很困难，通过分门,别类研究，能求得一些特殊类型方程的解,（只含一个变量），即便是,一阶方程,，也很,难求出解析解表达式，也因此，在上一章我,们研究了,一阶微分方程,的,数值解法,。,补充知识,（续,2,）,4,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,1,差分方法的基本概念,要求解偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。,一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型,:,（,1,）,泊阿松,方程（,Poisson,），又称为椭圆型方程：,：自变量的,变化区域，有,界区域。,：,的边界，分段光滑曲线。,1.,偏微分方程定解问题,当 称为拉普拉斯方程（,Laplace,）或调和方程，,例如,满足：,5,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,相应第一边值条件,：,第二、第三边值条件：,为边界,的外法线方向，,为第二边界条件，为第三边界条件。,各种物理性质的,定长问题,（不随时间变化过程）,，,都可用椭圆型方程描述,。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热等均满足上述方程。,椭圆型方程（续）,6,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,（,2,）,热传导方程（抛物型）,相应有：柯西（,Cauchy,）初值条件：,初边值条件为：,第一边值条件：,第二边值条件：,7,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,抛物型方程（续）,第三边值条件为：,其中,在热传导过程的研究中，气体的扩散现象,及电磁场的传播等随时间变化的,非定常,物理,问题，都可用上述方程来描述。,8,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,（,3,）,波动方程（双曲型）,最简单形式为线性双曲方程：,其初边值,条件为：,边值条件同热传导方程。,物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程描述。,9,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法的基本概念,如果偏微分方程定解问题的解存在，唯一，并且连续依赖于定解数据（即出现在方程和定解条件中的已知函数），则此,定解问题,是适定的。可以证明，上面所举各种,定解问题,都是适定的。,2.,差分方法的基本概念：,先对求解区域作,网格剖分,，将自变量的连续变化区域,用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续,变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通,过用网格点上函数的,差商,代替,导数,，将含连续变量的,偏,微分方程定解问题,化成只含,有限个未知数的代数方程组,（称为差分格式）,。如果差分格式有解，且当网格无限,变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则,差分格,式的解就作为原问题的近似解（数值解）,。,10,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法的基本概念（续,1,）,所以，偏微分方程数值解法，实际上是通过,网格,及,差分格式,将,偏微分方程定解问题离散化,后,求,定义域上有限离散点（网格点）对应函数值,u(x,y),的近似值（差分值）,，体现,在常微分方程数值解法中,是求定义区间上,离散点,x,i,对应,y(,x,i,),的近似值,y,i,。,因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下问题：,（,1,）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、,菱形等格式。,（,2,）对偏微分方程及定解条件，选择充分近似，列,出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线,性代 数方程组）。,11,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法的基本概念（续,2,）,如可用差商（差分）代替导数：,对偏导数同样有：,一般还可以得出：,等等；,12,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,（,3,）求解充分方程（解的存在性与唯一性）,差分方法的基本概念（续,3,）,（,4,）讨论充分方程的解是否可作为偏微分方程的解的近似值（收敛性及误差估计）。,按上述方法，差分方法也可用于求解常微分,方程，为了帮助理论，下面先简单介绍在常微分,方程中近值问题数值解法；,二阶线性微分方程第一边值问题：,13,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,二阶线性微分方程第一边值问题,（,1,）差分方程的建立：,将,a,b,分为,n,个相等的小区间，,要将 离散化，建立充分方程，即要用：,则在内节点,x,i,处，方程化为：,x,1,x,n-1,称为内节点，,x,0,x,n,称为边界点。,14,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,二阶线性微分方程第一边值问题（续,1,）,在上式中略去余项，并记,q,i,=q(x,i,),f,i,=f(x,i,),y,i,=y(x,i,),则得差分方程：,此为,（,n-1)(n-1),阶线性代数方程组。其解,作为边值问题精确解,y(x),在,x,1,x,2,x,n-1,处的近似值，称为差分解。,以,则差分方程,组可简记为：,15,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,二阶线性微分方程第一边值问题（续,2,）,可证：,1.,极值定解：设,y,0,y,1,y,n,不全相等,:,若满足条件 ，则,y,0,y,1,y,n,中正的最大值只能是,y,0,或,y,n,。,2.,充分方程解唯一存在。,若满足 ，则,y,0,y,1,y,n,中负的最小值只能是,y,0,或,y,n,。,16,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,二阶线性微分方程第一边值问题（续,3,）,这是,(n-1)(n-1),的,三对角方程组，系数矩阵对角占优,追赶法求解。,3.,方程组解法：,亦即：,17,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,二阶线性微分方程边值问题,例题,例,用差分法解二阶线性,微分方程第一边值问题：,解：取,h,=0.1,则,所以：,因此差分,方程为：,18,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,二阶线性微分方程边值问题,例题（续）,x,i,y,i,y(x,i,）,x,i,y,i,y(x,i,),0.1,0.0704894,0.0704673,0.6,0.4835684,0.4834801,0.2,0.1426836,0.14246409,0.8,0.7114791,0.7114109,0.3,0.2183048,0.2182436,0.9,0.8470045,0.8469633,0.4,0.2991089,0.2990332,解此差分方程，计算结果列在下表中：,其中：,二阶线性微分,方程的解函数为,19,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法求解偏微分方程,简例,下面，我们再通过一个简单的例子来说明用,差分方法求解偏微分方程问题,的一般过程及差分方法的基本概念。,设有一阶双曲型,方程初值问题：,首先对定解区域：,作网格剖分，最简单常用的一种网格是：用两族分别平,行于,x,轴与,t,轴的等距直线,20,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法求解偏微分方程,简例（续,1,）,将,D,分成许多小矩形区域（见图,10-1,）。这些直线称为网,格线，其交点称为网格点，,也称为节点，,h,和,分别称,作,x,方向和,t,方向的步长。,这种网格称为矩形网格。,如果我们用向前差商,表示一阶偏导数，即,:,其中,:,0,2,3,3h,-h,2h,h,-2h,t,x,（图,10-1,）,21,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,于是，方程（,10-1,）在节点 处可表示为,:,差分方法求解偏微分方程,简例（续,2,）,(10-2),其中：,由于当,h,，,足够小时，是小量，在式（,10-2,）中略去 就得到一个与方程（,10-1,）相近似的差分方程。,紧接下屏,记为,22,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法求解偏微分方程,简例（续,3,）,此处，可看作是问题（,10-13,）的解在节点 处的近似值。由初条件有：,(10-4),式,（,10-3,）,与,（,10-4,）,结合，就得到求问题（,10-1,）的数值解的差分格式。,而称式,（,10-5,）,为差分方程（,10-3,）的截断误差。,(10-3),23,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法求解偏微分方程,简例（续,4,）,如果一个差分方程的截断误差为 ，则称差分方程对,t,是,q,阶精度,，对,x,是,p,阶精度,的。显,然，,截断误差的阶数越大,，,差分方程对微分方程的逼近越好。,若,网格步长,趋于,0,时，差分方程的,截断误差也趋,于,0,，,则称差分方程与相应的微分方程是,相容,的。,这是用差分方法求解偏微分方程问题的,必要条件,。,如果当,网格步长趋于,0,时，差分格式的,解收敛到相应微,分方程定解问题的解,，则称这种差分格式是,收敛的,。,用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产生,舍入误差,，在,递推计算,的过程中，,误差还会传播,。对计算过程中,误差传播的讨论,就是差分格式的,稳定性问题,。,24,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,差分方法求解偏微分方程,简例（续,5,）,如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越,大，以致所求的解完全失真，则称该差分格式是,数值不,稳定的,。后面的讨论表明，差分格式的,稳定性不仅与差,分格式本身有关,，,而且与网格步长之比（称为,网格比,）,的大小有关,。如果一种差分格式对任意网格比都稳定，,则称该差分格式是,无条件稳定的,；若只对某些网格比的,值稳定；则称为,条件稳定,。如果对任何,网格比都不稳定，则称完全不稳定,。,完全不稳定的差分格式是无效的,。值,得指出的是，稳定性与微分方程无关。,定理,10.1,（,Lax,等价定理）给定一个适定的初值问题，,如果逼近它的差分格式与它相容，则该差分格式收敛的充分必要条件为它是数值稳定的。,由此定理，在对差分格式的稳定性进行讨论的同时，,收敛性问题也就解决了。,（证明略）,25,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,2,椭圆型方程第一边值问题的差分解法,本节以,Poisson,方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。,2.1,差分格式的建立,考虑,Poisson,方程的第一边值问题：,(10-6),取,h,和,分别为,x,方向和,y,方向的步长，如图,10-2,所示，以两族平行线：,将定解区域剖分成矩形网格。,节点的全体记为：,R,Q,P,T,S,图,10-2,26,阜师院数科院,第十章 偏微分方程数值解法,Poisson,方程,差分格式的建立,定解区域内部的节点称为内点，记内点集 为 。边界 与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为 。与节点 沿,x,方向或,y,方向只差一个步长的点 和 称为节点 的相邻节点。,如果一个内点的四个相邻节点均属于