单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,15.3,等腰三角形,第,15,章 轴对称图形与等腰三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（,HK,）,教学课件,第,1,课时 等腰三角形的性质定理及推论,1.,了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题,;,（重点）,2.,进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想,;,3.,培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法（难点）,学习目标,导入新课,等腰三角形,情境引入,定义及相关概念,有两条边相等的三角形叫做,等腰三角形,.,等腰三角形中，相等的两边叫做,腰,，另一边叫做,底边,，两腰的夹角叫做,顶角,，腰和底边的夹角叫做,底角,.,A,C,B,腰,腰,底边,顶角,底角,底角,讲授新课,等腰三角形的性质,1,一,剪一剪：,把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形,ABC,有,什么特点？,互动探究,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,折一折：,ABC,是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,A,C,D,B,折痕,所在的直线,是它的对称轴,.,找一找：,把剪出的,等腰三角形,ABC,沿折痕对折，找出其中重合的线段和角,.,重合的线段,重合的角,A,C,B,D,AB,与,AC,BD,与,CD,AD,与,AD,B,与,C,.,BAD,与,CAD,ADB,与,ADC,等腰三角形是轴对称图形,.,猜一猜：,由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？,定理,1,等腰三角形的两个底角相等,（,等边对等角,）,.,A,B,C,D,猜想与验证,已知：,ABC,中，,AB,=,AC,求证：,B,=,C,.,证法,1,：,作底边,BC,边上的中线,AD,.,在,ABD,与,ACD,中：,AB,=,AC,（已知），,BD,=,DC,（作图），,AD,=,AD,（公共边），,ABD,ACD,（,SSS,）,.,B,=,C,.,应用格式：,AB,=,AC,（已知）,B,=,C,（等边对等角）,证法,2,：,作顶角,BAC,的平分线,AD,，,交,BC,于点,D,.,AD,平分,BAC,，,1,2.,在,ABD,与,ACD,中，,AB,AC,（,已知,），,1,2,（,已证），,AD,AD,（,公共边,），,ABD,ACD,（,SAS,），,B,C.,A,B,C,D,(,(,1,2,证法,3,：,作底边,BC,的高,AD,，,交,BC,于点,D,.,AD,BC,，,ADB,ADC,90.,在,Rt,ABD,与,Rt,ACD,中，,AB,AC,（,已知,），,AD,AD,（,公共边,），,Rt,ABD,Rt,ACD,（,HL,），,B,C,.,A,B,C,D,解,:,AB,=,AC,（已知）,B,=,C,，（等边对等角）,B,=,C,=,(,180120,),=30,.,又,BD,=,AD,（已知）,BAD,=,B,=30,.（等边对等角）,同理，,CAE,=,C,=30,.,DAE,=,BAC,-,BAD,-,CAE,=120,-30-30=,60.,例,1,如图，在,ABC,中，,AB,=,AC,BAC,=120,，点,D,E,是底边上两点，且,BD,=,AD,CE,=,AE,.求,DAE,的度数.,（,2,）,设,A,=,x,请把,ABC,的内角和用含,x,的式子表示出来,.,A,B,C,D,x,2,x,2,x,2x,例,2,如图，在,ABC,中，,AB,=,AC,，,点,D,在,AC,上，且,BD,=,BC,=,AD,，,求,ABC,各角的度数,.,解析：,（,1,）,观察,BDC,与,A,、,ABD,的关系,，,ABC,、,C,呢？,BDC,=,A,+,ABD,=2,A,=2,ABD,ABC,=,C,=,BDC,=2,A,C,=,BDC,=2,A,.,A,+,ABC,+,C,=180,x,+2,x,+2,x,=180,A,B,C,D,解：,AB=AC,，,BD=BC=AD,，,ABC=C=BDC,，,A=ABD,.,设,A,=,x,则,BDC,=,A,+,ABD,=2,x,从而,ABC,=,C,=,BDC,=2,x,于是在,ABC,中，有,A,+,ABC,+,C,=,x,+2,x,+2,x,=180,，,解得,x,=36,，,在,ABC,中，,A,=36,，,ABC,=,C,=72.,x,2,x,2,x,2,x,方法总结：,利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为,x,.,【变式题】,如图，在,ABC,中，,AB,=,AD,=,DC,，,BAD,=26,，求,B,和,C,的度数,.,解：,AB,=,AD,=,DC,，,B,=,ADB,，,C,=,DAC,.,设,C,=,x,，则,DAC,=,x,，,B,=,ADB,=,C,+,DAC,=2,x,.,在,ABC,中，根据三角形内角和定理得,2,x,+,x,+26,+,x,=180,，,解得,x,=38.5,.,C,=,x,=38.5,，,B,=2,x,=77.,例,3,等腰三角形的一个内角是,50,，求这个三角形的底角的度数,.,解：当,50,的角是底角时，三角形的底角就是,50,；当,50,的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是,65,.,方法总结：,等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论,例,4,求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等,已知，如图，在,Rt,ABC,和,Rt,ABC,中，,C,=,C,=90,，,AB=AB,，,AC=AC,求证：,Rt,ABC,Rt,ABC.,A,A,B,C,C,B,本例是,14.2,中以学过的判定两个直角三角形全等的定理,“,HL,”,的证明,证明：在平面内移动,Rt,ABC,和,Rt,ABC,，,使点,A,和,A,、点,C,和,C,重合，点,B,和点,B,在,AC,两侧，如图,A,A,B,C,C,B,（）,（）,BCB,=90,+90,=180,，（等式的性质）,B,C,B,三点在一条直线上,.,（平角的定义）,在,ABB,中，,AB=AB,（已知）,B,=,B,.,（等角对等边）,在,Rt,ABC,和,Rt,ABC,中，,ACB=ACB,，（已知）,B=B,，（已证）,AB=AB,，（已知）,Rt,ABC,Rt,ABC.,（,AAS,）,等腰三角形的性质,2,二,建筑工人在盖房子时，用一块,等腰三角板,放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗,?,A,C,B,证明后的结论,以后可以直接运用,.,总结归纳,性质,2:,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合,(,三线合一,）,.,A,C,B,D,1,2,AB,=,AC,1=2(,已知,),，,BD,=,CD,AD,BC,（等腰三角形三线合一）,.,AB,=,AC,BD,=,CD,(,已知,),，,1=2,AD,BC,（等腰三角形三线合一）,.,AB,=,AC,AD,BC,(,已知,),，,BD,=,CD,1=2,（等腰三角形三线合一）,.,综上可得：如图,在,ABC,中,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？,不重合！,三线合一,为什么不一样?,“,三线合一”,的操作,1.,等腰三角形的顶角一定是锐角,.,2.,等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、,钝角都可以,.,3.,钝角三角形不可能是等腰三角形,.,4.,等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边,.,5.,等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合,.,6.,等腰三角形底边上的中线一定平分顶角,.,X,X,X,X,判一判,例,5,如图，点,D,、,E,在,ABC,的边,BC,上，,AB,AC,.,(1),若,AD,AE,，求证：,BD,CE,；,(2),若,BD,CE,，,F,为,DE,的中点，如图,，求证：,AF,BC,.,典例精析,图,图,证明：,(1),如图,，过,A,作,AG,BC,于,G,.,AB,AC,，,AD,AE,，,BG,CG,，,DG,EG,，,BG,DG,CG,EG,，,BD,CE,；,(2),BD,CE,，,F,为,DE,的中点，,BD,DF,CE,EF,，,BF,CF,.,AB,AC,，,AF,BC,.,图,图,G,方法总结：,在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,等腰三角形的性质定理的推论,三,类比探究,A,B,C,A,B,C,问题,1,等边三角形的三个内角之间有什么关系？,等腰三角形,AB=AC,B=C,等边三角形,AB=AC=BC,AB=AC,B=C,AC=BC,A=B,A=B=C=60,内角和为,180,推论：,等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于,60,.,已知：,AB=AC=BC,，,求证：,A=B=C=,60.,证明：,AB=AC.,B=C.(,等边对等角,),同理,A=C.,A=B=C.,A+B+C=180,A=B=C=60.,A,B,C,A,B,C,A,B,C,问题,2,等边三角形有,“,三线合一,”,的性质吗,?,等边三角形有几条对称轴？,结论,:,等边三角形,每条边上的中线,高和所对角的平分线,都,“,三线合一,”,.,顶角的平分线、底边的高,底边的中线,三线合一,一条对称轴,三条对称轴,例,6,如图，,ABC,是等边三角形，,E,是,AC,上一点，,D,是,BC,延长线上一点，连接,BE,，,DE,，若,ABE,40,，,BE,DE,，求,CED,的度数,解：,ABC,是等边三角形，,ABC,ACB,60.,ABE,40,，,EBC,ABC,ABE,60,40,20.,BE,DE,，,D,EBC,20,，,CED,ACB,D,40.,方法总结：,等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是,60,，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合,”,等边对等角,”,、三角形的内角和与外角的性质,.,变式训练：,如图，,ABC,是等边三角形，,BD,平分,ABC,，延长,BC,到,E,，使得,CE=CD,求证：,BD=DE,证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线，,ABC=ACB=60,DBC=30（等腰三角形三线合一）,又CE=CD，,CDE=CED,又BCD=CDE+CED，,CDE=CED=30,DBC=DEC,DB=DE（等角对等边）,当堂练习,2.,如图，在ABC中，AB=AC，过点A作AD,BC，若1=70，则BAC的大小为（）,A40 B30 C70 D50,A,1.,等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是,(,),A30，60 B45，45,C45，90 D20，70,B,3.(1),等腰三角形一个底角,为,75,它的另外两个角为,_,_,_,；,(2),等腰三角形一个角为,36,它的另外两个角为,_,；,(3),等腰三角形一个角为,120,它的另外两个角为,_,_ _,.,75,30,72,72,或,36,108,30,，,30,4.,在,ABC,中，,AB=AC,，,AB,的垂直平分线与,AC,所在的直线相交得的锐角为,50,，则底角的大小为,_,A,B,C,A,B,C,70,或,20,注意：,当题目为给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行分类讨论,.,5.,如图，在,ABC,中，,AB=AC,，,D,是,BC,边上的中点，,B=30,，求,BAD,和,ADC,的度数,.,A,B,C,D,解：,AB=AC,，,D,是,BC,边上的中点，,C=,B=30,，,BAD=DAC,，,ADC=90.,BAC=180-30-30=120.