单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,h,*,复 数,复数,1,h,知识结构图,复数,概念,表示,运算,代数表示,几何表示,代数运算,几何意义,2,h,高考要求,1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义；,2掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算；,3了解从自然数到复数扩充的基本思想,3,h,讲座内容目录,复数知识梳理,1,联系类比 掌握复数,2,复数的高考考查形式,3,复数问题的思想方法,4,讲座内容,4,h,知识梳理,1.定义:形如,a+bi（a、bR）,的数叫做复数,其中,i是虚数单位,；,注,:复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a、bR)可记作z=a+bi（a、bR），并把这一形式叫做,复数的代数形式,全体复数所组成的集合叫复数集，记作C,复数Z=a+bi(a、bR)，我们把实数a，b分别叫做复数的,实部,和,虚部,5,h,2.复数的分类：,复数a+bi,（aR，bR）,3.复数相等：,如果两个复数的,实部,和,虚部,分别相等，那么我们就说这两个,复数相等，即：,则,知识梳理,6,h,4,.,复数的运算：,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi,2,=(ac,bd)+(bc+ad)i,类似于多项式的加法、减法、乘法运算,（1）复数的加法,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,（2）复数的减法,(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i,（3）复数的乘法,知识梳理,7,h,4,.,复数的运算,（4）复数的除法：,即分母实数化,知识梳理,8,h,复数运算的常用结论：,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-i,i,4n,=1,.,9,h,复数z=a+bi,（aR，bR）,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-,实轴,y轴-,虚轴,-,复平面,一一对应,z=a+bi,知识梳理5,.,复数的几何意义,10,h,x,O,z,=,a,+,b,i,y,Z,(,a,b,),与复数z=a+bi,（aR，bR）,对应的向量 的模|，叫做复数z=a+bi的,模，,即为复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(,a,b,)到坐标原点的距离,|,z,|=,复数的模的几何意义:,11,h,x,o,y,Z,1,(a,b),Z,2,(c,d),Z(a+c,b+d),OZ,1,+OZ,2,=OZ,符合向量加法的平行四边形法则,加法,运算的几何意义,z,1,+z,2,知识梳理,12,h,x,o,y,Z,1,(a,b),Z,2,(c,d),复数z,2,z,1,向量Z,1,Z,2,符合向量减法的三角形法则,复数,减法,运算的几何意义,|,z,1,-,z,2,|表示什么?,表示复平面上两点Z,1,Z,2,的距离,13,h,联系类比，掌握复数,1.联系数集扩充到实数集，掌握数集扩充到复数集,数从自然数发展到实数的三次扩充历程都是因生产、科学发展的需要和数学本身发展的需要而逐步扩充的过程；但实系数一元二次方程 没有实数根，这促使我们将实数集进行扩充，使该问题能得到圆满解决；由此我们引入新数i，定义形如,的数叫做复数；从而把数集扩充到复数集.,14,h,1.联系数集扩充到实数集，掌握数集扩充到复数集,【例1】实数,m,分别取什么数时，复数,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i是：实数；虚数；纯虚数；共轭复数的虚部为12.,分析:本题是一道考查复数概念的题目，解题的关键是把复数化成,z,=,的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由它们满足的条件进行解题.,联系类比，掌握复数,15,h,【例1】实数,m,分别取什么数时，复数,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i是：实数；虚数；纯虚数；共轭复数的虚部为12.,解析：,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i,=(,m,2,+5,m,+6)+(,m,2,2,m,15)i，(,m,R)，,要使,z,为实数，必须,解得,m,=5,或,m,=,3,.,要使,z,为虚数，必须,m,2,2,m,150，解得,m,5且,m,3.,联系类比，掌握复数,16,h,【例1】实数,m,分别取什么数时，复数,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i是：实数；虚数；纯虚数；共轭复数的虚部为12.,解：,z,=(,m,2,+5,m,+6)+(,m,2,2,m,15)i，(,m,R)，,要使,z,为纯虚数，必须,即,m,=,2,.,要使,z,的共轭复数的虚部为12，必须(,m,2,2,m,15)=12，解得,m,=1或,m,=3.,联系类比，掌握复数,17,h,【例1】实数,m,分别取什么数时，复数,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i是：实数；虚数；纯虚数；共轭复数的虚部为12.,点评：解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成,z,=,的形式，明确复数的实部与虚部，由实部与虚部满足的条件，列出方程,(,组,),或不等式,(,组,),，通过解方程,(,组,),或不等式,(,组,),达到解决问题的目的.,联系类比，掌握复数,18,h,2.类比多项式运算，掌握复数运算,两个复数相加、相减、相乘，类似于两个多项式相加、相减、相乘，只是在所得的结果中要把,i,2,换成1，并且把实部与虚部分别合并.,【例2】若复数 其中 是虚数单位，则复数 的实部为,.,解：,【点评】本题考查复数的减法、乘法运算，以及复数实部的概念；类比运算即可.,20,联系类比，掌握复数,19,h,3.类比分母有理化，掌握复数除法运算,在实数运算中，分母有无理数时，我们可以分子、分母同乘以分母的有理化因式进行分母有理化，即：,都是有理数且,为无理数时，有,类似的，复数,a+bi,除以复数,c+di,的商,联系类比，掌握复数,20,h,类似的，复数,a+bi,除以复数,c+di,的商,.,的共轭复数进行“分母实数化”，即：,可以分子、分母同乘以分母,3.类比分母有理化，掌握复数除法运算,联系类比，掌握复数,21,h,.,3.类比分母有理化，掌握复数除法运算,【例3】,的值等于_,.,点评：掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则,.,分析：本题考查复数的除法运算，根据复数的除法运算法则即可解决.,解析：,=2+3i.,联系类比，掌握复数,22,h,4.类比实数的几何意义，掌握复数的几何意义,实数与数轴上的点是一一对应的；类似的，复数 与复平面内的点,是一一对应的.,.,【例4】,复数,在复平面上对应的点不可能位于第,象限,.,为虚数单位),所以不可能同时有,故对应的点不可能位于第一象限,.,解：,联系类比，掌握复数,23,h,4.类比实数的几何意义，掌握复数的几何意义,.,【例4】,复数,在复平面上对应的点不可能位于第,象限,.,为虚数单位),点评：,本题考查复数的几何意义及复数运算的知识，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应先将复数变形为,的形式，再根据,所在的位置求解,联系类比，掌握复数,24,h,高考考查形式,从近两年我省的高考试题看，高考对于复数的考查要求较低，试题难度不大，均在“较易”或“中档”的层次，相当数量的题源于教材，几乎都为填空题.其中复数的代数运算是年年必考，其试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力.我们预测10年对复数的考查可能出现以下的一些形式：,1考查复数的基本概念与运算；,2考查复数的几何意义；,下面我们举例说明,25,h,高考考查形式1考查复数的基本概念与运算,例1若 （其中 是虚数单位，是实数），则,点评：对复数的基本问题不能放松要求，诸如复数是虚数、纯虚数的条件，复数相等的条件，复数模的几何性质等都要熟练掌握；对复数问题实数化的基本方法要清楚.,解析：，,由已知得 ，,26,h,高考考查形式2考查复数的几何意义,例2满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是,解析：因为|z-i|=|3+4i|=5，,复数z对应的点Z与复数i对应的点(0,1)之间的距离为5，,由圆的定义知，复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是：以复数i对应的点(0,1)为圆心、5为半径的圆.,点评：本题直接利用复数的几何意义求解，对于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决.,27,h,复数问题的思想方法,通过前面的介绍我们知道：高考对于复数的考查要求较低，试题难度不大，均在“易”或“较易”的层次，相当数量的题源于教材，多为填空题.,但复数问题往往蕴含以下数学思想方法：复数问题实数化思想，坐标化思想，向量化思想，图形化思想；我们简称复数问题的“四化”实数化、坐标化、向量化、图形化,.,28,h,1.,实数化根据复数相等的定义,解决复数问题，要注意复数问题实数化的方法，即利用复数相等的概念，把复数问题转化为实数问题，这是解决复数问题的最常用策略.,【例1】设 (其中 表示z,1,的共轭复数)，已知z,2,的实部是 ，则z,2,的虚部为,.,分析：设出复数z,1,、z,2,，利用复数问题实数化的方法即可解决.,29,h,【例1】设 (其中 表示z,1,的共轭复数)，已知z,2,的实部是 ，则z,2,的虚部为,.,则有,由已知,结合复数相等的概念得,解析：,设,都是实数），,，即z,2,的虚部为1.,1.,实数化根据复数相等的定义,30,h,【例1】设 (其中 表示z,1,的共轭复数)，已知z,2,的实部是 ，则z,2,的虚部为,.,点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念、复数的几何意义、复数相等的充要条件等.,1.,实数化根据复数相等的定义,31,h,2.,坐标化根据复数与点的对应,实数与数轴上的点是一一对应的；类似的，复数与复平面内的点是一一对应的.,【例2】实数,m,分别取什么数时，复数,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i对应的点：,在第三象限；在直线,x,+,y,+4=0上.,分析：,本题考查复数的几何意义，解题的关键是把复数化成,z,=,的形式，然后由其对应的点,满足的条件进行解题.,32,h,【例2】,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i对应的点：在第三象限；在,x,+,y,+4=0上.,解析：,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i,=(,m,2,+5,m,+6)+(,m,2,2,m,15)i，,m,R，,z,对应的点为:（,m,2,+5,m,+6，,m,2,2,m,15）；,要使,z,对应的点在第三象限，必须,3,m,2,；,要使,z,对应的点在直线,x,+,y,+4=0,上，必须点的坐标,(,m,2,+5,m,+6,，,m,2,2,m,15),满足方程,x,+,y,+4=0,，,(,m,2,+5,m,+6)+(,m,2,2,m,15)+4=0,，解得,m,=,或,m,=1,.,2.,坐标化根据复数与点的对应,33,h,【例2】,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i对应的点：在第三象限；在,x,+,y,+4=0上.,解析：,z,=(1+i),m,2,+(52i),m,+615i,=(,m,2,+5,m,+6)+(,m,2,2,m,15)i，,m,R，,z,对应的点为:（,m,2,+5,m,+6，,m,2,2,m,15）；,点评：复数问题坐标化是解决复数对应点问题的最基本、最重要的思想方法，其依据是复数的概念、复数的几何意义等.,2.,坐标化根据复数与点的对应,34,h,3.,向量化根据复数与向量的对应,复数 与复平面内的点 是一一对应的，故与复平面内的向量 也是一一对应的，由此可理解复数加减运算的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则；复数的减法即向量的减法，满足三角形法则.,由复数减法运算的几何意义还可得出以