,*,第,4,章 刚体的转动,日本9级地震引起的海啸(2021年),此次地震使日本岛移动了,2.4米，导致地球上的一天缩短了1.8微秒根据角动量守恒，这说明日本岛可能有所下沉，使之更靠近自转轴而使地球加速。,本 章 内 容,4.1 刚体的定轴转动,4.2,刚体的定轴转动定律,4.3,角动量 角动量守恒定律,4.1,刚体的定轴转动,4.1.1,刚体,定义,：,在运动过程中，其形状和大小都不发生变化的力学研究,对象称为,刚体,-,理想模型。,处理方法,：把刚体看成不变质点组，用质点或质点组的运动规律加以讨论。,特点,：刚体内任意两点之间的距离在运动或受外力时都保持不变。,4.1.2,平动和转动,定义：如果刚体在运动时，刚体上任意两点连成的直线的方位始终保持不变，那么刚体的这种运动称为刚体的平动。,平动特点,：,刚体平动时各质点的轨迹相同。,任一时刻刚体上各质点的速度和加速度都相同。,故可用质心的运动代表。,定义,：刚体运动时各质元绕同一条固定的直线作圆周运动称为,定轴转动,。这条直线叫,固定转轴,。,定轴转动特点：,描述各质元的角量角位移、角速度、角加速度都相同。,各质元运动的线速度、加速度一般不同。,刚体一般运动：可看成是随质心的平动和绕通过质心轴转动的合成。,一般运动,=(,平动,)+(,转动,),原那么:随某点(基点)的平动+过该点的定轴转动基点任选。,4.1.3,定轴转动,(1),描述刚体定轴转动的物理量,(2),角量与线量的关系,(3),角速度矢量,转动平面,减速,加速,简化,O,O,4.2,刚体的定轴转动定律,4.2.1,力对转轴的力矩,大小,:,方向:右手定那么,P,O,*,O,假设力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩,定义,：如果有几个外力同时作用在刚体上时，这几个外力在与转轴相垂直的平面内的分力对刚体的作用相当于一个力矩的作用，这个力矩称为这几个力矩的,合力矩,。,合力矩的量值等于这几个外力矩的代数和,，即,刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,由于内力都是成对出现的，而且每一对内力对转轴的力矩互相抵消，因此,刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩一定为零,。,沿同一作用线的大小相等方向相反的两个作用力对转轴的合力矩为零,。,4.2.2,刚体的定轴转动定律,质元受外力 ，内力,O,转动定律,定义转动惯量,刚体定轴转动的角加速度与它所受的,合外力矩,成正比，与刚体的,转动惯量,成反比,.,=0,假设M=0，由定律知=0，那么刚体处于静止或匀角速转动状态。,讨论：,定律中的各量都是,对同一固定转轴,而言的；,定律是刚体作纯转动时的根本定律；,定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律。应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因,；,4.2.3,转动惯量,转动惯量的物理意义：,转动惯性的量度,转动惯量的单位：,kgm,2,质量离散体,(1),转动惯量的计算,质量连续体,线分布,体分布,面分布,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,质量线密度,质量面密度,质量体密度,A,刚体的质量,；,B,刚体的,质量分布,；,C,定轴的位置,。,(2)转动惯量与以下因素有关：,(3),计算转动惯量的两个定理,平行轴定理,推论：,平行轴中对质心的转动惯量最小,。,物体绕某一转轴的转动惯量,J,等于绕过质心并与该轴平行的转轴的转动惯量,J,c,加上物体质量,m,和两平行轴之间距离,d,的平方的乘积。,J,对,oo,轴的转动惯量,J,c,对通过质心,C,的轴的转动惯量,d,两平行轴间的距离,m,C,o,Z,X,Y,O,o,o,实心圆盘,垂直轴定理,假设平面型物体如薄板、圆盘等绕与平面垂直的轴的转动惯量为Jz，轴与平面的交点为O，物体绕平面内通过0点相互垂直的两轴的转动惯量分别为Jx和Jy，那么有：,0,0,L,例1.求质量为m，长度为 L 的均质细棒的转动惯量。转轴oo通过棒的一端并与棒垂直,解,：在距转轴,x,处，取质量元,dm,，,其长度为,dx,x,d,x,dm,R,m,解,：,m,看作质点,J,=,mR,2,例,3,.,质量为,m,的细圆环，求,J,。,J,=,R,2,d,m,=,mR,2,d,m,R,R,例,2,.,求小球,m,的转动惯量。,解,：把环分成无限多个质量为,d,m,的小段，对每个,d,m,有：,d,J,=,R,2,d,m,对整个环有,另解：,d,J,=,r,2,d,m,R,例,4.,求均匀薄圆盘,(,质量,m,，半径,R,),的,J,。,解：,把盘分成无限多个环。取其中一个环,(,半径,r,，宽,d,r,，质量,d,m,),整个盘的转动惯量为,:,其转动惯量为,d,r,r,R,m,4.3,角动量 角动量守恒定律,4.3.1,刚体对转轴的角动量,力的时间累积效应,力矩的时间累积效应,冲量、动量、动量定理,冲量矩、角动量、角动量定理,Z,方向：沿轴正方向,矢量式：,刚体对,Z,轴的角动量：,质元 的角动量：,o,4.3.2,刚体的角动量定理,质点,m,i,受合力矩,M,i,(,包括,M,i,外,、,M,i,内,),对定轴转的刚体 ，,那么合外力矩,对定轴转的刚体，受合外力矩,M,，从 到 内，角速度从,变为,，积分可得：,角动量定理微分形式,角动量定理积分形式,4.4.3,角动量守恒定律,对于某一固定轴，当刚体所受合外力矩为零时，其角动量保持不变。,(,惯性系,),-,角动量守恒定律,定轴转动的角动量定理,守恒条件,若 不变，不变；,若 变，也变，但,不变,.,讨论,若 ，,自然界中存在多种守恒定律,动量守恒定律,能量守恒定律,角动量守恒定律,电荷守恒定律,质量守恒定律,宇称守恒定律等,在冲击等问题中,常量,角动量守恒定律是自然界的一个根本定律.,内力矩不改变系统的角动量,.,例1 如下图，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平固定轴转动.开始时，木杆竖直下垂.质量m1=50g的小球以v0=30ms-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以v1=10ms-1的速度向反方向弹回.杆长l=40cm，木杆质量m2=600g.设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.,解：,因为碰撞时间极短，可以认为碰撞过程中杆一直处在竖直位置,.,对于木杆和小球组成的系统，其所受外力是两者的重力以及轴处轴对杆的支持力，所有这些外力对轴的力矩为零，因此,系统对轴的角动量守恒,.,