单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,第,17,课时,等腰三角形,课标要求,1.,了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理,:,等腰三角形的两底角相等,;,底边上的高线、中线及顶角平分线重合,.,探索并掌握等腰三角形的判定定理,:,有两个角相等的三角形是等腰三角形,.,2.,探索等边三角形的性质定理,:,等边三角形的各角都等于,60,及等边三角形的判定定理,:,三个角都相等的三角形,(,或有一个角是,60,的等腰三角形,),是等边三角形,.,考情分析,高频考点,年份、题号、分值,题型,2021,年中考预测,等腰,三角形,2017,、,8,、,3,分,填空题,2016,、,11,、,3,分,填空题,2015,、,23(3),、,3,分,解答题,等边三角形,2019,、,17,、,3,分,解答题,2014,、,23,、,10,分,等腰三角形与等边三角形,知 识 梳 理,等腰三角形,定义,有,相等的三角形叫做等腰三角形,.,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角,性质,(1),两个底角相等,(,简称,);,(2),顶角平分线、底边上的,、底边上的高相互重合,(,简称,“,三线合一,”);,(3),是轴对称图形,有,条对称轴,两边,等边对等角,中线,1,等腰三角形,判定,(1),在,ABC,中,AB=AC,ABC,是等腰三角形,(,定义,);,(2),在,ABC,中,B=,C,ABC,是等腰三角形,面积,（续表）,等边三角形,定义,三边都相等的三角形叫做等边三角形,性质,(1),等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于,;,(2),等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合,;,(3),等边三角形是轴对称图形,有,条对称轴,（续表）,60,3,（续表）,等边三角形,判定,(1),三条边都相等的三角形是等边三角形,(,定义,);,(2),三个角都相等的三角形是等边三角形,;,(3),有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形,面积,知识拓展,:,(1),等腰三角形两腰上的高相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等,;,(2),等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半,;,(3),等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行,;,(4),等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高,;,(5),等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高,;,(6),等边三角形内任意一点到三边距离之和等于其任意一边上的高,.,1,.,如图,17-1,在,ABC,中,AC=BC,A=,40,观察图中尺规作图的痕迹,可知,BCG,的度数为,(,),A,.,40B,.,45C,.,50D,.,60,C,对 点 演 练,题组一必会题,图,17-1,B,图,17-2,图,17-3,答案,D,4,.,2019,成都,如图,17-4,在,ABC,中,AB=AC,点,D,E,都在边,BC,上,BAD=,CAE,若,BD=,9,则,CE,的长为,.,9,图,17-4,5,.,2020,青海,等腰三角形的一个内角为,70,则另外两个内角的度数分别是,(,),A,.,55,55B,.,70,40,或,70,55,C,.,70,40D,.,55,55,或,70,40,题组二易错题,【,失分点,】,忽视等腰三角形的腰与底边的区别,底角与顶角的区别导致错误,;,忽视三角形三边关系导致错误,;,受片面思维的影响,忽视等腰三角形腰上的高的不同情况导致漏解,.,D,6,.,2020,张家界,已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程,x,2,-6,x,+8,=,0,的两根,则该等腰三角形的底边长为,(,),A,.,2B,.,4C,.,8D,.,2,或,4,A,答案,70,或,20,7,.,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是,50,则这个等腰三角形的底角为,.,考向一等腰三角形的性质与判定,例,1,2019,衢州,“,三等分角,”,大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图,17-5,所示的,“,三等分角仪,”,能三等分任一角,.,这个三等分角仪由两根有槽的棒,OA,OB,组成,两根棒在,O,点相连并可绕,O,转动,C,点固定,OC=CD=DE,点,D,E,可在槽中滑动,.,若,BDE=,75,则,CDE,的度数是,(,),A,.,60B,.,65,C,.,75D,.,80,图,17-5,答案,D,解析,OC=CD=DE,O=,ODC,DCE=,DEC,DCE=,O,+,ODC=,2,ODC.,O,+,OED=,3,ODC=,BDE=,75,ODC=,25,.,CDE,+,ODC=,180-,BDE=,105,CDE=,105-,ODC=,80,.,故选,D,.,1,.,2017,江西,8,题,如图,17-6,是一把园林剪刀,把它抽象为图,其中,OA=OB,若剪刀张开的角为,30,则,A=,度,.,考向精练,图,17-6,答案,7,5,2,.,2016,江西,13(2),如图,17-7,在,Rt,ABC,中,ACB=,90,将,Rt,ABC,向下翻折,使点,A,与点,C,重合,折痕为,DE,求证,:,DE,BC.,图,17-7,证明,:,由题易知,AD=CD.,点,A,与点,C,重合,EA=EC,DE,AC.,ACB=,90,AC,BC,DE,BC.,3,.,2020,绍兴,【,问题,】,如图,17-8,在,ABD,中,BA=BD.,在,BD,的延长线上取点,E,C,作,AEC,使,EA=EC,若,BAE=,90,B=,45,求,DAC,的度数,.,【,答案,】,DAC=,45,.,【,思考,】,(1),如果把以上,【,问题,】,中的条件,“,B=,45”,去掉,其余条件不变,那么,DAC,的度数会改变吗,?,说明理由,.,(2),如果把以上,【,问题,】,中的条件,“,B=,45”,去掉,再将,“,BAE=,90”,改为,“,BAE=n,”,其余条件不变,求,DAC,的度数,.,图,17-8,3,.,2020,绍兴,【,问题,】,如图,17-8,在,ABD,中,BA=BD.,在,BD,的延长线上取点,E,C,作,AEC,使,EA=EC,若,BAE=,90,B=,45,求,DAC,的度数,.,【,答案,】,DAC=,45,.,【,思考,】,(1),如果把以上,【,问题,】,中的条件,“,B=,45”,去掉,其余条件不变,那么,DAC,的度数会改变吗,?,说明理由,.,图,17-8,3,.,2020,绍兴,【,问题,】,如图,17-8,在,ABD,中,BA=BD.,在,BD,的延长线上取点,E,C,作,AEC,使,EA=EC,若,BAE=,90,B=,45,求,DAC,的度数,.,【,答案,】,DAC=,45,.,【,思考,】,(2),如果把以上,【,问题,】,中的条件,“,B=,45”,去掉,再将,“,BAE=,90”,改为,“,BAE=n,”,其余条件不变,求,DAC,的度数,.,图,17-8,考向二与等腰三角形有关的多解问题,例,2,2020,南昌一模,在,Rt,ABC,中,AC=,3,BC=,4,点,P,是斜边,AB,上一点,若,PAC,是等腰三角形,则线段,AP,的长可能为,.,图,17-9,【,方法点析,】,解决与等腰三角形有关的问题时,一定要分清顶角和底角,底边和腰,高是在三角形内还是在三角形外,有些情况应该分类讨论,同时注意三角形的三边关系,.,考向精练,4,.,2018,义乌,等腰三角形,ABC,中,顶角,A,为,40,点,P,在以,A,为圆心,BC,长为半径的圆上,且,BP=BA,则,PBC,的度数为,.,答案,30,或,110,解析,根据题意作出图形,(,如图,),当点,P,在直线,AB,的右侧时,连接,AP.,AB=AC,BAC=,40,ABC=,C=,70,.,AB=AB,AC=PB,BC=PA,ABC,BAP,ABP=,BAC=,40,PBC=,ABC,-,ABP=,30,.,当点,P,在,AB,的左侧时,同理可得,ABP=,40,PBC=,40+70,=,110,.,综上,PBC,为,30,或,110,.,5,.,如图,17-10,矩形,ABCD,中,AB=,1,AD=,2,E,是,AD,的中点,P,在射线,BD,上运动,若,BEP,为等腰三角形,则线段,BP,的长为,.,图,17-10,例,3,如图,17-11,已知,ABC,和,ADE,都是等边三角形,点,D,在边,BC,上,且,BD=,4,CD=,2,那么,AF=,.,考向三等边三角形的性质与判定,图,17-11,考向精练,6,.,如图,17-12,在等边三角形,ABC,中,点,D,E,分别在边,BC,AC,上,且,DE,AB,过点,E,作,EF,DE,交,BC,的延长线于点,F.,(1),求,F,的度数,;,(2),若,CD=,2,求,DF,的长,.,解,:(1),ABC,为等边三角形,B=,60,.,DE,AB,EDC=,B=,60,.,EF,DE,DEF=,90,F=,90-,EDC=,30,.,图,17-12,6,.,如图,17-12,在等边三角形,ABC,中,点,D,E,分别在边,BC,AC,上,且,DE,AB,过点,E,作,EF,DE,交,BC,的延长线于点,F.,(2),若,CD=,2,求,DF,的长,.,图,17-12,解,:(2),方法一,:,ACB=,60,EDC=,60,EDC,为等边三角形,DE=CD=,2,.,DEF=,90,F=,30,DF=,2,DE=,4,.,方法二,:,ABC,为等边三角形,DE,AB,EDF=,B=,A=,DEC=,60,CE=CD=,2,.,EF,DE,DEF=,90,CEF=,90-,DEC=,30,=,F,CF=CE=CD=,2,.,故,DF=CD,+,CF=,4,.,