,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四节 圆的方程,一、圆的定义及方程,定义,平面内与,的距离等于,的点的集合,(,轨迹,),限定条件,标准,方程,圆心：,(,),，半径,r,0,一般,方程,圆心：,(,),，,半径,D,2,E,2,4,F,0,定点,定长,(x,a)2,(y,b)2,r2,a,，,b,r,x2,y2,Dx,Ey,F,0,二元二次方程,Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,表示圆的条件是什么？,提示：,二、点与圆的位置关系,圆的标准方程,(x,a)2,(y,b)2,r2,，圆心,A(a,，,b),，半径,r,，,若点,M(x0,，,y0),在圆上，则 ；若点,M(x0,，,y0),在圆外，则 ；若点,M(x0,，,y0),在圆内，则,.,(x0,a)2,(y0,b)2,r2,(x0,a)2,(y0,b)2r2,(x0,a)2,(y0,b)2r2,1,圆,(x,2)2,y2,5,关于原点,(0,0),对称的圆的方程为,(,),A,(x,2)2,y2,5,B,x2,(y,2)2,5,C,(x,2)2,(y,2)2,5 D,x2,(y,2)2,5,解析：已知圆的圆心坐标,(,2,0),，它关于原点对称的点的坐标为,(2,0),答案：,A,2,已知两点,A(,2,0),，,B(0,2),，点,C,是圆,x2,y2,2x,0,上任,意一点，则,ABC,面积的最小值是,(,),解析：,lAB,：,x,y,2,0,，圆心,(1,0),到,l,的距离,AB,边上的高的最小值为,答案：,A,3,圆,x2,y2,2x,2y,1,0,的圆心到直线,x,y,1,0,的距离,是,(,),解析：配方得,(x,1)2,(y,1)2,1,，圆心,(1,，,1),到直线的距离,d=,答案：,D,4,圆心在直线,2x,y,7,0,上的圆,C,与,y,轴交于两点,A(0,，,4),，,B(0,，,2),，则圆,C,的方程为,_,解析：圆心是,AB,的垂直平分线和,2x,y,7,0,的交点，则圆心为,E(2,，,3),，,r,|EA|,则圆的方程为,(x,2)2,(y,3)2,r2,5.,答案：,(x,2)2,(y,3)2,5,5,已知点,(0,0),在圆：,x2,y2,ax,ay,2a2,a,1,0,外，,则,a,的取值范围是,_,解析：将,(0,0),代入圆的方程得,2a2,a,1,0,，即,(a,1)(2a,1),0,，,a,或,a,1.,又,D2,E2,4F,0,，,a2,a2,4(2a2,a,1),0,，,答案：,即：,a-1,或,1,方程选择原则：,求圆方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需,要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与,圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程,2,方程求法：,求圆的方程，主要用待定系数法，有两种求解方法：一是,利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；二是利用圆的,一般方程求出系数,D,、,E,、,F,的值,【,注意,】,用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是用一般方程要根据题设条件选择选择得好，解法就简捷，选择得不好，会增加解答的难度，并注意尽量根据条件少设未知量第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可能大大减少计算量,根据下列条件求圆的方程：,(1),经过点,P(1,1),和坐标原点，并且圆心在直线,2x,3y,1,0,上；,(2),圆心在直线,y,4x,上，且与直线,l,：,x,y,1,0,相切于点,P(3,，,2),；,(3),过三点,A(1,12),，,B(7,10),，,C(,9,2),直接法或待定系数法,.,【,解,】,(1),设圆的标准方程为,(x,a)2,(y,b)2,r2,，,由题意列出方程组,圆的标准方程是,(x,4)2,(y,3)2,25.,(2),法一：设圆的标准方程为,(x,a)2,(y,b)2,r2,，,解得,a,1,，,b,4,，,r,2 .,圆的方程为,(x,1)2,(y,4)2,8.,则有,法二：过切点且与,x,y,1,0,垂直的直线为,y,2,x,3,，与,y,4x,联立可求得圆心为,(1,，,4),半径,r,2,，,所求圆的方程为,(x,1)2,(y,4)2,8.,(3),法一：设圆的一般方程为,x2,y2,Dx,Ey,F,0,，,则,解得：,D,2,，,E,4,，,F,95.,所求圆的方程为,x2,y2,2x,4y,95,0.,法二：由,A(1,12),，,B(7,10),，,得,AB,的中点坐标为,(4,11),，,kAB,则,AB,的中垂线方程为：,3x,y,1,0.,同理得,AC,的中垂线方程为：,x,y,3,0.,联立得,即圆心坐标为,(1,2),，,半径,所求圆的方程为,(x,1)2,(y,2)2,100.,1,(2009,重庆高考,),圆心在,y,轴上，半径为,1,，且过点,(1,2),的,圆的方程是,(,),A,x2,(y,2)2,1,B,x2,(y,2)2,1,C,(x,1)2,(y,3)2,1 D,x2,(y,3)2,1,解析：由题意知圆心为,(0,2),答案：,A,研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解,(1),形如,形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；,(2),形如,t,ax,by,形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；,(3),形如,t,(x,a)2,(y,b)2(t,0),形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的最值问题,已知实数,x,、,y,满足方程,x2,y2,4x,1,0.,(1),求,y,x,的最大值和最小值；,(2),求,x2,y2,的最大值和最小值,根据代数式的几何意义,借助于平面几何知识,数形结合求解,.,【,解,】,方程,x2,y2,4x,1,0,变形为,(x,2)2,y2,3,表示的图形是圆,(1)y,x,可看作是直线,y,x,b,在,y,轴上的截距，当直线,y,x,b,与圆相切时，纵截距,b,取得最大值或最小值，此时,解得,b,2,所以,y,x,的最大值为,2,，最小值为,2,(2)x2,y2,表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为,所以,x2,y2,的最大值是,x2,y2,的最小值是,2,在本例条件下，的最大值和最小值又为何值？,解：,表示过点,P(-1,0),与圆,(x-2)2+y2=3,上的点,(x,，,y),的直线的斜率,由图象知 的最大值和最小值分别是过,P,与圆相切的直线,PA,、,PB,的斜率,即 的最大值为 ，最小值为,-.,求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：,直接法：直接根据题目提供的条件列出方程,定义法：根据圆、直线等定义列方程,几何法：利用圆与圆的几何性质列方程,代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等,此外还有交轨法、参数法等不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键,(2009,上海高考,),点,P(4,，,2),与圆,x2,y2,4,上任一点连线的中点轨迹方程是,(,),A,(x,2)2,(y,1)2,1 B,(x,2)2,(y,1)2,4,C,(x,4)2,(y,2)2,4 D,(x,2)2,(y,1)2,1,利用相关点法（代入法）求之,.,【,解析,】,设圆上任一点坐标为,(x0,，,y0),，则 ,4,，连线中点坐标为,(x,，,y),，,则,4,中得,(x,2)2,(y,1)2,1.,【,答案,】,A,3,设定点,M(,3,4),，动点,N,在圆,x2,y2,4,上运动，以,OM,、,ON,为两边作平行四边形,MONP,，求点,P,的轨迹方程,解：如图所示，设,P(x,，,y),，,N(x0,，,y0),，则线段,OP,的中点坐标为 ，线段,MN,的中点坐标为,因为平行四边形的对角线互相平分，,故,N(x,3,，,y,4),在圆上，故,(x,3)2,(y,4)2,4.,因此所求,P,点的轨迹方程为：,(x,3)2,(y,4)2,4,，但应除去两点：,(),和,()(,点,P,在,OM,所在的直线上时的情况,),圆的方程的求法在高考中一直是考查的热点，多在选择、填空中考查，常与圆的切线、弦长计算相结合，有时涉及圆的对称问题,.2009,年辽宁卷在选择题中利用待定系数法考查了圆的方程的求法,.,属容易题,.,(2009,辽宁高考,),已知圆,C,与直线,x,y,0,及,x,y,4,0,都相切，圆心在直线,x,y,0,上，则圆,C,的方程为,(,),A,(x,1)2,(y,1)2,2,B,(x,1)2,(y,1)2,2,C,(x,1)2,(y,1)2,2,D,(x,1)2,(y,1)2,2,解析,由圆心在直线,x,y,0,上，不妨设为,C(a,，,a),a,1,，,r,圆,C,：,(x,1)2,(y,1)2,2.,答案,B,充分利用几何性质确定圆心、半径是求圆的方程的捷径，可以减少错误，避免复杂的计算,