山东水浒书业有限公司,优化方案系列丛书,第,4,章 平面向量与复数,双基研习,面对高考,考点探究,挑战高考,考向瞭望,把脉高考,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三节平面向量的数量积,第三节平面向量的数量积,考点探究,挑战高考,考向瞭望,把脉高考,双基研习,面对高考,双基研习,面对高考,基础梳理,1,向量的数量积的概念,(1),向量,a,与,b,的夹角：已知两个非零向量，过点,O,，作,a,，,b,，则,_,叫做向量,a,与,b,的夹角,AOB,(0,180),当,90,时，,a,与,b,垂直，记作,a,b,；,当,0,时，,a,与,b,同向；,当,180,时，,a,与,b,反向,(2),a,与,b,的数量积,已知两个非零向量,a,和,b,，它们的夹角为,，则把,|,a,|,b,|cos,叫做,a,和,b,的数量积,(,或内积,),，记作,_,(3),规定,0,a,0.,a,b,|,a,|,b,|cos,.,思考感悟,2,向量的数量积的性质,设,a,，,b,都是非零向量，,e,是与,b,方向相同的单位向量，,是,a,与,e,的夹角，则,(1),e,a,_,.,(2),a,b,_,.,(3),当,a,与,b,同向时，,ab_,；,当,a,与,b,反向时，,a,b,_,特别地,aa,_,a,e,|,a,|cos,ab,0,|,a,|,b,|,|,a,|,b,|.,|,a,|,2,.,(4)cos,_,.,(5)|,ab,|,_,.,3,向量的数量积的运算律,(1),ab,_,.,(2)(,a,),b,_,_,(3)(,a,b,),c,_,4,平面向量的数量积的坐标表示,(1),若,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),则,ab,_,ba,(,ab,),a,(,b,)(,R),a,c,b,c,.,x,1,x,2,y,1,y,2,.,|,a,|,b,|,x,1,x,2,y,1,y,2,0.,2,非零向量,a,，,b,的夹角为,，则,a,b,0,是,为锐角的什么条件？,提示：,a,b,0,为锐角或,a,、,b,的夹角为,0,，而当,为锐角时，,a,b,|,a,|,b,|cos,一定为正值，所以,a,b,0,是,为锐角的必要不充分条件,思考感悟,课前热身,答案：,1,答案：钝角三角形,答案：,3,4,如果,a,(2,x,2,，,3),与,b,(,x,1,，,x,4),互相垂直，则实数,x,等于,_,考点探究,挑战高考,考点突破,模长问题,考点一,向量的模多为求两点间的距离，考查向量的加、减法，坐标运算和数量积,例,1,(2010,年高考浙江卷,),已知平面向量,，,，,|,|,1,，,|,|,2,，,(,2,),，则,|2,|,的值是,_,【,思路分析,】,求向量的模，先平方转化为向量的数量积，再开方求模,(2),要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的,(3),有时可借助图形，如平行四边形、三角形，再结合解三角形的相关知识解决,利用向量数量积解决夹角问题,考点二,向量的夹角涉及到三角函数问题，因而是考查的热点之一，重点在角的范围，数量积公式的应用上，也同时可考查数形结合思想的应用,例,2,当夹角为,时，也有,(2,te,1,7,e,2,)(,e,1,te,2,),0,，,但此时夹角不是钝角，,2,te,1,7,e,2,与,e,1,te,2,反向,设,2,t,e,1,7,e,2,(,e,1,te,2,),，,0,，,互动探究,1,本例题中,“,向量,2,te,1,7,e,2,与,e,1,te,2,的夹角为钝角,”,改为,“,向量,2,te,1,7,e,2,与,e,1,te,2,的夹角为锐角,”,，结果如何？,向量与三角函数的综合应用,考点三,向量与三角函数相结合，多以向量形式来表示或描述条件，即条件的表现形式呈现多样化、异样化，不再是三角函数中的简单直观陈述，结合坐标形式等向量运算进行考查,例,3,【,思路分析,】,利用向量的数量积公式结合三角恒等变换，化简求值,【,名师点评,】,应用三角函数知识解决向量问题是一类典型的问题，要解决这类综合性的题目，就要求我们在平时的学习中对各方面的知识熟练掌握，多积累方法、经验,方法感悟,方法技巧,1,平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择,2,利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：,(1)|,a,|,2,a,2,a,a,；,(2)|,a,b,|,2,(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,.,3,求向量的夹角时要注意：,(1),向量的数量积不满足结合律；,(2),数量积大于,0,说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于,0,说明两向量的夹角为直角，数量积小于,0,且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角,4,应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的哪些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等,总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题,失误防范,考向瞭望,把脉高考,考情分析,向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，是高考命题者的必选素材，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到,预测在,2012,年的江苏高考中，数量积的考查依然会是命题点之一，可能会与其他知识结合，增加题目的灵活性，以考查概念性的题型为主,真题透析,例,(2008,年高考江苏卷,),已知,a,与,b,的夹角为,120,，,|,a,|,1,，,|,b,|,3,，则,|5,a,b,|,_.,【,答案,】,7,【,名师点评,】,本题考查了数量积的概念及模的大小的计算方法，向量的有关概念在高考中经常考查因此基本的解题方法必须要掌握住，求向量的模时先平方再开方是常用的方法,名师预测,1,设,a,，,b,是夹角为,60,的单位向量，若,c,是单位向量，则,(,a,c,)(,b,c,),的取值范围是,_,