单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学要求,:,理解奈奎斯特回线的概念,掌握,奈奎斯特稳定判据及其,应用,.,教学内容,:,一,.,映射定理,二,.,奈奎斯特回线,三,.,奈奎斯特判据,四,.,奈奎斯特稳定判据应用,教学难点,:,完整,Nyquist,图的绘制,.,.,频率,稳定性判据,奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性判断系统,闭环系统稳定性的方法,.,既可以使用,Nyquist,图,又可以使用,Bode,图,.,教学要求:.频率稳定性判据,一,.,映射定理,奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数论中的映射定理，又称,幅角定理,。,设有一复变函数为,s,为复变量，以,s,复平面上的,s=+j,表示。,F(s),为复变函数，以,F(s),复平面上的,F(s)=U+jV,表示。对于,s,平面上的每一点，在,F(s),平面上必定有一个对应的映射点。,给定,S,，如何求,F(s)?,4.5,奈奎斯特稳定判据,一.映射定理 奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数,图5-,3-1 s,平面与,F(s),平面的映射关系,s,平面,F(s),平面,顺时针,图5-3-1 s平面与F(s)平面的映射关系s平面F(s)平,如果在,s,平面画一条封闭曲线，则在,F(s),平面上必有一,条对应的映射曲线,.,若在,s,平面上的封闭曲线是沿着,顺时针,方向运动的，则,在,F(s),平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也,可能是逆时针的，取决于,F(s),函数的特性。,根据式(5-3-1)，复变函数,F(s),的相角可表示为,1.,包含一个零点,:,假定在,s,平面上的封闭曲线包围了,F(s),的一个零点,z1，,而其他零极点都位于封闭曲线之外，则当,s,沿着,s,平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，,相量(,s-z1),的相角变化,-2,弧度,，,而其他各相量的相角变化为零。,注意方向,!,如果在s平面画一条封闭曲线，则在F(s)平面上必有一,这意味着在,F(s),平面上的映射曲线沿顺时针方向,围绕着原点旋转一周，也就是相量,F(s),的相角变化,了,-2,弧度，如图5-3-2所示。,2,.,包含,Z,个零点,:,若,s,平面上的封闭曲线包围着,F(s),的,z,个零点。则在,F(s),平面上的映射曲线将按,顺时针,方向围绕着坐标原,点旋转,z,周,:,Z X(-2),3,.,包含,p,个极点,:,用类似分析方法可以推论，若,s,平面上的封闭曲线,包围了,F(s),的,p,个极点。则当,s,沿着,s,平面上的封闭曲,线,顺时针,移动一周时，在,F(s),平面上的映射曲线将按,逆时针,方向围绕着坐标原点旋转,p,周,。,这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向,图5-,3-2,封闭曲线包围,z,1,时的映射情况,图5-3-2 封闭曲线包围z1时的映射情况,综上所述，可以归纳如下：,映射定理,:,设,s,平面上的封闭曲线包围了复变函数,F(s),的,p,个极点,和,z,个零点,，并且此曲线不经过,F(s),的任一零点和极点，则当复变量,s,沿封闭曲线,顺时针,方向移动一周时，在,F(s),平面上的映射曲线,按,逆时针,方向包围,坐标原点,绕过,(p-z),周,。,综上所述，可以归纳如下：映射定理:设s平面,二,.,奈奎斯特回线,系统的特征方程为,:,系统的开环传递函数可以写为,代入特征方程,得,F(s),与,G(s)H(s),有什么区别,?,F(s),的零点,极点的含义是什么,?,由上式可见，复变函数,F(s),的,零点,为系统特征方程的根(闭环极点),s1、s2,sn,，而,F(s),的,极点,则为系统的开环极点,p1,p2,pn,。,闭环系统稳定的充分和必要条件是，特征方程的根,(,即,F(s),的零点,),，都位于,s,平面的左半部。,二.奈奎斯特回线 系统的特征方程为:系统的开环传递函数可以写,为了判断闭环系统的稳定性，需要检验,F(s),是否具有位于,s,平面,右半部的零点,。为此可以选择一条包围,整个,s,平面右半部,的按顺时针方向运动的封闭曲线，通常称为,乃奎斯特回线,。,根据,F(s),可以判断系统的稳定性,但,F(s),与,G(s),之间有简单关系,:,因此,常用,G(s),来判断系统的稳定性,.,根据映射定理,设,s,平面上的封闭曲线包围了整个右半平面,则当复变量,s,沿封闭曲线,顺时针,方向移动一周时，在,F(s),平面,上的映射曲线,按,逆时针,方向包围,坐标原点,绕过,p,周,即不含,z,个,零点,。则系统稳定,.,为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s)是否具有位于,图5,-3-3,乃奎斯特回线,图5-3-3 乃奎斯特回线,奈奎斯特回线与奈奎斯特图之间的关系,:,1.=0+,+,:,开环频率特性曲线,;,G(j)H(j),2.,=-,-,0,:,关于实轴对称,;,3.,=0-,0+,:,从,=0+,开始补画半径为 的一定,角度的圆弧,.,4.,=,+,-,:,什么情况下系统稳定,?,利用奈奎斯特判据判断系统的稳定性,可以用完整的奈奎斯特图,也可以用一半的奈奎斯特图,(,开环频率特性曲线,但要逆时针补画,V*90).,奈奎斯特回线与奈奎斯特图之间的关系:什么情况下系统稳定,如果在,s,平面上，,s,沿着奈奎斯特回线顺时针方,向移动一周时，在,F(s),平面上的映射曲线,F,围绕,坐标原点按逆时针方向旋转,N=P,周，则系统为稳定,的。,根据系统闭环特征方程有,（5-,3-4,）,这意味着,F(s),的映射曲线,F,围绕原点运动的情况，相当于,G(s)H(s),的封闭曲线,GH,围绕着,(-1，,j0),点的运动情况，如图5-3,-4,所示。,三,.,奈奎斯特判据,如何绘制,映射曲线,F,?,如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方根据系统闭环,图5-3,-4,GH,和,F,的关系,图5-3-4 GH和F的关系,P-,为位于,s,平面右半部的开环极点数目。,注意,:,1.S,的路径,:,-变化到,-0,+0,变化到+,2.,-变化,-0,的映射,F(s),与,+0,变化+映射,F(s),关于实轴对称,.,3.,有时还要考虑,-0,变化到,+0,和+变化到-的映射,F(s).,奈奎斯特判据,:,设系统有,P,个开环极点在,S,平面右半,.,当,从-变化到+时，系统的开环频率特性,j)H(j),按逆时针方向包围(-1，,jO),点的圈数为,N.,1.,若,N=P,则闭环控制系统稳定,;,2.,若,NP,则闭环控制系统不稳定,在,S,平面右半的极点个数为,:Z=P-N.,P-为位于s平面右半部的开环极点数目。奈奎斯特判据:,开环频率特性曲线,:,S:,+0,变化到+,乃奎斯特曲线,:,S:,-,变化到,-0,+0,变化到+,显然，若开环系统稳定，即位于,s,平面右半部的,开环极点数,P=0，,则闭环系统稳定的充分和必要条,件是,:,系统的开环频率特性,G(j)H(j),不包围(-1，,0),点。,开环频率特性曲线:系统的开环频率特性G(j)H(j)不包,四,.,奈奎斯特稳定判据应用,1.,无开环极点的判断,(V=0),1),全奈奎斯特图,:,Z=P-N,2),半奈奎斯特图,(,开环频率特性曲线,),Z=P-2N,3),穿越法,N=N,+,-N,-,Z=P-2N,四.奈奎斯特稳定判据应用 1.无开环极点的判断(V=0),穿越法,正穿越,N,+,:,相位增加的穿越,N,+,=1;,半次正穿越,N,+,:,N,+,=1/2;,负穿越,N,-,:,相位减小的穿越,N,-,=1;,半次负穿越,N,+,:,N,-,=1/2;,穿越法,例,1,绘制开环传递函数为,的系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性,。,解,此系统的开环频率特性为,给出若干,值，求出相应的幅频特性,和相频特性,的值，可绘制出系统的乃奎斯特图（见图5-3,-5,）,例1 绘制开环传递函数为的系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的,1),全奈奎斯特图,:,Z=P-N=0,2),半奈奎斯特图,(,开环频率特性曲线,):,Z=P-2N=0,3),穿越法,:,因为,N+=0,N-=0,N=N+-N-=0,则,Z=P-2N=0,系统稳定,.,1)全奈奎斯特图:Z=P-N=0,例5,-2,已知,P=0,V=1,试判断系统的稳定性,.,1),全奈奎斯特图,:,Z=P-N=0,2),半奈奎斯特图,(,开环频率特性曲线,):,Z=P-2N=0,3),穿越法,:,因为,N+=0,N-=0,N=N+-N-=0,则,Z=P-2N=0,结论,:,系统稳定,.,例5-2,已知P=0,V=1,试判断系统的稳定性.1)全奈奎,2.,有开环极点的判断,(V,0),先逆时针,从,w=0,+,开始补画半径为,的一定角度的,圆弧,然后再判断,.,1),全乃奎斯特图,:,逆时针补画,:,Z=P-N,2),半乃奎斯特图,:,逆时针补画,Z=P-2N,3),穿越法,N=N,+,-N,-,Z=P-2N,2.有开环极点的判断(V0),例5,-3,已知,P=0,V=2,试判断系统的稳定性,.,1),全奈奎斯特图,:,Z=P-N=0,2),半奈奎斯特图,(,开环频率特性曲线,):,Z=P-2N=0-2*(-1)=2,3),穿越法,:,因为,N+=0,N-=1,N=N+-N-=-1,则,Z=P-2N=2,结论,:,系统不稳定,.,例5-3,已知P=0,V=2,试判断系统的稳定性.1)全奈奎,3.Bode,图判断,1),无开环极点的判断,(V=0),N=N,+,-N,-,Z=P-2N,2),有开环极点的判断,(V,0),先逆时针补画,然后再判断,.,向上补画,V90,逆时针,.,3.Bode图判断,例,5.4 Bode,图判断,1),无开环极点的判断,(V=0),N=N+-N-=0,Z=P-2N=0,2),有开环极点的判断,(V,0),先向上补画,V90.,N+=1,N-=1,N=N+-N-=0,Z=P-2N=0,P=0,V=0,P=0,V=1,例5.4 Bode图判断1)无开环极点的判断(V=0)2)有,虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据,虚轴上有开环极点的情况通常出现于在系统中有,串联积分环节的时候，,即在,s,平面的坐标原点有开,环极点,。这时不能直接应用图5,-3-3,所示的乃奎斯,特回线。,为了在这种情况下应用乃奎斯特判据，可以选,择图5,-3-6a,所示的乃氏回线，它与图5-,3-3,中乃氏,回线的区别仅在于，,此回线经过以坐标原点为圆，以无穷小量,为半径的，在,s,平面右半部的小半，绕过了开环极点所在的原点,虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据 虚轴上有开环极点的情况通,当,0,时，此小半圆的面积也趋近于零。因此，,F(s),的位于,s,平面右半部的零点和极点均被此乃氏,回线包围在内。而将位于坐标原点处的开环极点,划到了左半部。这样处理是为了适应乃奎斯特判,据的要求，因为应用乃氏判据时必须首先明确位,于,s,平面右半部和左半部的开环极点的数目。,当,s,沿着上述小半圆移动时，有,当,从0沿小半圆变到0,+,时，,按逆时针方向,旋转了,，G(s)H(s),在其平面上的映射为,当0时，此小半圆的面积也趋近于零。因此，当s沿着上述小半,为系统中串联的积分环节数目。,为系统中串联的积分环节数目。,例,2.,绘制开环传递函数为,由以上分析可见，,当,s,沿着小半圆从,=0,变化,到,=0,+,时，,角从-,/2,经0变化到,/2，,这时,在,G(s)H(s),平面上的映射曲线沿着半径为无穷,大的圆弧按顺时针方向从,/2,经0变化到,-,/2。,的系统的乃奎斯特图，并判闭环系统的稳定性。,解,系统开环传递函数有一极点在,s,平面的原点处，,因此乃氏回线应沿半径为无穷小值,的半圆弧绕过,它，如图5-3,-6a,所示。令,s=j,代入,G(s)H(s)，,给定,若干,值，求出相应,例2.绘制开环传递函数为 由以上分析可见，当s沿着小半圆,的乃奎斯特图，如图5,-3-