单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1 Systems vs Control Volumes,第四章 流体动力学基本方程,系统,(Systems,S),:,确定的流体质点的集合,系统之外的环境统称为外界,系统与外界的分界面称为系统边界,(,Surrounding,),。,特点,:,系统随系统内质点一起运动,系统内质点始终包含在系统内,系统边界形状和所围空间的大小随运动而变化。,系统与外界无质量交换且但可以有力的相互作用及能量交换。属于,Lagrange,描述。,4.1 Systems vs Control Volumes,第二章流体静力学（JPG）课件,控制体,(Control Volumes,CV),:,流体所在空间中,形状任意的空间。包围这个空间体积的边界面称控制面,(,CS,),控制面总是封闭曲面。,特点,:,CV,的形状与大小通常相对于某坐标系固定不变。,CV,内的流体质点组成并非不变。,CV,既可通过控制面与外界有质量和能量交换,也可与,CV,外的环境有力的相互作用。属于,Euler,描述。,控制体(Control Volumes,CV):CV,第二章流体静力学（JPG）课件,Conservation of Mass,:,系统流体质量,m,在系统运动中不变,即,式中,r,为,系统,流体密度。,a.Conservation of Mass.,b.The Linear Momentum Relation.,c.The Angular Momentum Relation.,d.The Energy Equation.,动量定律,:,系统流体动量,K,对时间的导数等于系统上外力之矢量和,F,即,SYSTEM:,式中,u,为流体运动速度。,Conservation of Mass:系统流体质量 m,动量矩定理,:,流体系统中角动量,H,对时间的导数等于作用在系统上的所有力矩,T,之矢量和,即,能量方程,:,第一热力学方程,第二热力学方程,以上所有公式适用于固体和流体。,或,动量矩定理:流体系统中角动量 H 对时间的导数等于作用在系,流体系统的某一特征量记为,N,单位体积的,N,记为,j,即,流体系统的某一特征量记为N,单位体积的 N 记为 j,第二章流体静力学（JPG）课件,S,面质量流量为,如果密度和速度在,S,面上是常数,则可近似成一元问题,S,面体积流量为,通常规定,n,为外法线,当流体流出,S,面时,:,u,n,0;,当流体流入,S,面时,:,u,n,0;,当流体流入控制体时,:,u,dA,0;,当无流体通过控制面时,:,u,dA,=0.,物理意义:单位时间内控制体内流体质量的增加等于穿越控制体表,a,.,定常流体,b,.,不可压缩流体,r,=,const,说明,:,定常流动中从控制体流出的质量流量永远等于流入控制体的质量。,说明,:,不可压缩流体流动时任何瞬时流入控制体的流量均等于同一瞬时从控制体内流出的流量（注,:,体积流量）。,a.定常流体b.不可压缩流体,r=const说明:,4.4,一元定常流动的连续性方程,4.4 一元定常流动的连续性方程,上式为一元不可压缩定常流动的连续性方程。,注,:,连续性方程适用于理想或粘性流体的流动。,上式为一元不可压缩定常流动的连续性方程。,EXAMPLE,敞口水池中,水沿一截面变化的管道排出,流量,Q,=0.014m,3,/s,。已知,d,1,=0.075m,d,2,=0.5m,试求,1,管和,2,管中的流速。,EXAMPLE,三段管路串联,直径分别为,d,1,=100mm,d,2,=50mm,d,3,=25mm,已知断面,3-3,的流速为,v,3,=10m/s,则,v,1,=,，,v,2,=,。,EXAMPLEEXAMPLE,4.4,二元、三元流动的连续性方程,4.4 二元、三元流动的连续性方程,上式为二元、三元连续性方程的微分形式。,物理意义,:,流体在单位时间流经单位控制体积空间时的流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。,直角坐标系下的连续性方程的微分形式。,上式为二元、三元连续性方程的微分形式。直角坐标系下的连续性方,a.,定常流动,b.,不可压缩流体,r,=,const,a.定常流动b.不可压缩流体,r=const,4.5,微分形式的运动方程,4.5 微分形式的运动方程,第二章流体静力学（JPG）课件,第二章流体静力学（JPG）课件,第二章流体静力学（JPG）课件,第二章流体静力学（JPG）课件,对于理想流体微分形式的运动方程为：,注：流体压强的方向与假设方向相反,对于理想流体微分形式的运动方程为：注：流体压强的方向与假设方,此式为理想流体运动微分方程,(,简称欧拉方程,),由瑞士数学家,1775,年最早给出。,此式为理想流体运动微分方程(简称欧拉方程),由瑞士数学家17,对于静止流体微分方程为,:,对于静止流体微分方程为:,动量定律,:,对一给定的流体系统,其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和。其数学表达式即称,运动方程,。,推法二,:,动量定律:对一给定的流体系统,其动量的时间变化率等于作用,由雷诺输运公式及连续性方程：,由雷诺输运公式及连续性方程：,4.4 Navier-Stokes,方程,粘性流体的本构关系,本构关系,:,反映物质物理性质之间的关系,统称为本构方程。即,应力张量与应变张量之间的关系,(,广义虎克定律,),。,已知：,4.4 Navier-Stokes 方程粘性流体的本构关系,1848,年,Stokes,首先研究这一问题,假设,:,应力张量是应变张量的线性函数；,流体是各向同性的,流体性质与方向无关；,流体静止时,应变率为零,流体中的应力就是流体静压强。,此式为,广义牛顿应力公式,。此外,满足此式的流体称牛顿流体,否则称非牛顿流体。,1848年,Stokes首先研究这一问题,假设:此式为,上式称为,Navier-Stokes,方程,上式称为Navier-Stokes 方程,当流体均质不可压时,r,=const,div,u,=0,再若,m,=const.,上式在粘性流体力学中经常用到。,当流体均质不可压时,r=const,divu=0,再,