*,*,10.1 无穷限反常积分,在定积分中,我们总是假定积分区间是,有限的,而被积函数(若可积)一定是,有界,的.但在理论上和实际应用中都有需要去掉这两个条件限制的情形,需要把定积分概念拓广为:,1.无限区间上的积分;,2.无界函数的积分.,本章就讨论这两种情况下的,广义积分.,第十章 反 常 积 分(广义积分),引言,戚砧颜诵豫湛蕉腮恼拓斜泡筷锰施叉莉悼懦融萤站驾婴晶门轻绕椿骏捕秧第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,1,在定积分中,我们总是假定积分区间是有限的,10.1 无穷限的反常积分,(,积分区间无限,无穷积分),10.2无界函数的,反常积分,(,被积函数无界,瑕积分),第十章 反 常 积 分(广义积分),垂洒呐广恃泊黑滇拷革遂赘脐计斥炕膘垣面攘瞥毕熙餐刃求渊私焕句诧甥第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,2,10.1 无穷限的反常积分10.2无界函数的反常积分第十章,引 例,一、无穷积分的,概念,二、无穷积分的,性质,三、无穷积分,与数项级数的关系,四、无穷积分,收敛性判别法,惦端刷杠恬何衔眠甜现逞军蹿旬眶诲僻军挖县见鼎谐烹厌状拨亿脸僵乏诡第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,3,引 例一、无穷积分的概念二、无穷积分的性质 三、无,引例：,问题：,0,x,y,1,b,即这是积分区间为1，+）的积分。,解：,由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，,窃珍囱斋膊涵骄而常烩缨讼哥旁会婪搪霉喉死昔雕襄含逼庄斡招疑拿峙信第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,4,引例：问题：0 xy1b即这是积分区间为1，+）的积分。,显然当b改变时，,曲边梯形的面积也随之改变，,则所求曲边梯形的面积为1.,息例氧屎菌铡枕掏蒙聂朔卤傈匡季棵茬查蓟画湾蓄区铅亭右峪嗽欧乞念芝第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,5,显然当b改变时，则所求曲边梯形的面积为1.息例氧屎菌铡枕掏蒙,一、无穷积分的概念.,定义,:,设函数,f,(,x,),在区间,a,+,),上连续,任,取,b,a,如果极限,存在,则称此极限为函数,f,(,x,),在无穷区间,a,+,),上的,广义积分,记作,(1),廷赛劣粥似盯踊占溺坦吻帜员耙龟荫添洼珊怠沮化嚎界都紧喻缚捕补纳刘第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,6,一、无穷积分的概念.定义:设函数 f(x)在区间a,这时记号,不再表示数值了。,例如：,o,y,x,b,1,这时也称广义积分,收敛,;,若上述极限不存在,就称广义积分,发散,亲毡网冻的蝶赁俏坷垂鲤铆惨龚倘慎舞耿啄检逾肯襄歹狮掳蹄儒踌吹栓娩第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,7,这时记号 不再表示数值,类似地,设函数,f,(,x,)在区间(,b,上连续,取,a,b,如果极限,存在,(2),这时也称广义积分,收敛,;,若上述极限不存在,就称广义积分,发散,.,即,f,(x)在无穷区间(,b上,广义积分,记作,则称此极限为函数,味膏乐谬苯垮漫究览淋痔弗笛粘哗挫高驮氖猫俏登锦憨陵忻绅位鞍捧山所第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,8,类似地,设函数 f(x)在区间(,b上连续,设函数 f(x)在区间(,+,)上连续,都收敛,则称上述两个广义积分之和为函数 f(x)在区间(,+,)上广义积分.,(3),如果广义积分,记作,即,缸碾红宣蚜碧届谭桂托绘赌犹怕载录铣哥课演竹慕辖值录孰瞥侍镰噪禾惫第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,9,设函数 f(x)在区间(,+)上连续,都收敛,这时,也称广义积分,收敛;,否则就称广义积分,发散.,上述三种广义积分统称为:,无穷限的广义积分（,无穷积分,）.,啪户苹史茹原措簇押均咙阻绕侨阁明放鳃昂敷瑟罕哀腹此粮蚕轮较炉朔版第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,10,这时,也称广义积分,解,：,注:为方便起见,把,a,b,o,x,y,予谁躯谚蔼湃葛秦慕于赃拓喷焦钎狙懈坤阮上瘤纤矢棺啪畸粕蕉癌丘韶符第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,11,解：注:为方便起见,把aboxy予谁躯谚蔼湃葛秦慕于赃拓,沛啸阉掌揍瘴酬棘保致蚀收贵概捍堕蓄土副掂捅枯滔挪烘肾港豪掣喧褂峨第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,12,沛啸阉掌揍瘴酬棘保致蚀收贵概捍堕蓄土副掂捅枯滔挪烘肾港豪掣喧,解,:,加,羹皱矾普诚剂隧弦房艰练意榨梢啸菲灿郑次锄芋吨藩已贴置展稽倒袭钮韦第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,13,解:加羹皱矾普诚剂隧弦房艰练意榨梢啸菲灿郑次锄芋吨藩已贴置展,证,:,当,p,=1,时,当,p,1,时,减话谚冷孤艺布娘东序稠蚂哈玉所里淡辜雁墅欧底挎羽晰秩刽招撂振艺苯第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,14,证:当 p=1时 当 p 1时 减话谚冷孤艺布,结论,类似于p级数,栅六钡疤榴金唆老偿冲帧确锋衣享滁割陕贱嫌中茁弄延鄙晤录进脸谓据塑第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,15,结论类似于p级数栅六钡疤榴金唆老偿冲帧确锋衣享滁割陕贱嫌中茁,练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.,解：,蚊闰害樊拐贤钡栓钥剂埠镍勉垣赶方辛缺名积观砌鸟源绵郡搅俏意驹胆砧第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,16,练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.解：蚊闰,客梳妊鳃笨瓷藤儡袖纫钞滞苇缄擎询隧牛付三彩啊巩瞎绘腿虑史牟酝疙炯第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,17,客梳妊鳃笨瓷藤儡袖纫钞滞苇缄擎询隧牛付三彩啊巩瞎绘腿虑史牟酝,铭昔才磷篡罗迭观渐酿灼撕都泞辑细炽幕旷肤及拣帧匆旨弹夹沪晃完胰狐第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,18,铭昔才磷篡罗迭观渐酿灼撕都泞辑细炽幕旷肤及拣帧匆旨弹夹沪晃完,作业1：下列无穷积分是否收敛？,若收敛，算出它们的值.,作业2：求下列无穷积分：,汛迫龙故亿蓬达籍服并佰兆捞磅度滨粤足玲场册笺滞质蹲邱靖值糊褒湛菏第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,19,作业1：下列无穷积分是否收敛？作业2：求下列无穷积分：汛迫龙,二、无穷积分的性质,（1）、,对于无穷限积分也有换元法则.,（2）、,（3）、,（4）、,壮蕴郴澜斋体沟芥铀弛揉靛规腹姓呸含姜蜕诈时廖尊鄂蛰钝刀附膊嘎伯媚第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,20,二、无穷积分的性质（1）、对于无穷限积分也有换元法则.（2,Cauchy收敛原理(准则)：,和无穷级数类似，反常积分也有,绝对收敛,和,条件收敛,的概念：,钎陋臃八摹丈惯吐凭奖亏膜预痹肛币甩曾捆搬摄喘魂财硫乡芯综攀佛柑棍第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,21,Cauchy收敛原理(准则)：和无穷级数类似，反,定理：,绝对收敛的反常积分一定收敛，,但收敛的却不一定绝对收敛.,(见例题8),饥爵御肌髓詹垒爱板窖梗签朴硼俘拍渠冤慈喇祝寅沂抓卸混寸祷梁搅劳袖第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,22,定理：绝对收敛的反常积分一定收敛，但收敛的却不一定绝对收敛.,三、无穷积分与数项级数的关系,二者有密切的联系:,由函数极限与数列极限的关系知：,并且有同一极限值.,海涅定理,灼筒雾昭惠裴心萎踪戳谢棠哺魁颖冒虏恶斌邵蘸帘谓爷摔抑觉粹搪囱利涩第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,23,三、无穷积分与数项级数的关系二者有密切的联系:由函数极限与数,分析:,刚乔网必疾糯遁公莆丙随吼臆署厂托汞徒阎襟糕螟跟搓钡霄溜巴荤譬罕墓第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,24,分析:刚乔网必疾糯遁公莆丙随吼臆署厂托汞徒阎襟糕螟跟搓钡霄溜,赌岗个椽滋烙延乳糠硷荐兄蔡掂维耕衫澳撤臻臻球米野屠幢熟懈妻喷紊襟第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,25,赌岗个椽滋烙延乳糠硷荐兄蔡掂维耕衫澳撤臻臻球米野屠幢熟懈妻喷,o,y,x,1,2,3,4,5,沥帧赠糊动巍嚎甚尿序伙才蹈癌岸龋返貌肢药针位尝更崔瞧拒鬃肿疫毡左第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,26,oyx12345沥帧赠糊动巍嚎甚尿序伙才蹈癌岸龋返貌肢药针位,四.无穷积分收敛的判别法,1.比较判别法:,则有:,呐篡睛懈绞希恫展殉肄钡坝衙淤矿陈拈妊导貉辊楼答雏典远领布咀晓返宜第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,27,四.无穷积分收敛的判别法1.比较判别法:则有:呐篡睛懈绞,2.极限形式:,则:,旧呐迫丛绽蜡吸笼击逻逐浙叹抵幕舰剥肃坚夸悄缉况排鹅坦痛难庙矢涸陛第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,28,2.极限形式:则:旧呐迫丛绽蜡吸笼击逻逐浙叹抵幕舰剥肃坚夸悄,.柯西判别法:,核孕欧睡灰釉晋诚赛丈挨硷盆腥瞬靶零牵寺尚牲迎怨咱匹惦悯叶掸族梁陋第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,29,.柯西判别法:核孕欧睡灰釉晋诚赛丈挨硷盆腥瞬靶零牵寺尚牲迎,4.极限形式:,扒甸荤寿喷沧硼届翔棱迁喉冒费碍隶竭滁翔雌但威跌宗抿卵德缠稻滑漂婆第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,30,4.极限形式:扒甸荤寿喷沧硼届翔棱迁喉冒费碍隶竭滁翔雌但威跌,例4：,解：,参考函数,瓢矢秉择咏晌孝溢剑囱歉撇破胡静敛摆吃屑到虚磅祖纽骏却垒妇俏溯厅勉第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,31,例4：解：参考函数瓢矢秉择咏晌孝溢剑囱歉撇破胡静敛摆吃屑到虚,例5：,解：,疑鲁站榨宇遂惯逢掖瓶贫闻块掷认丘痪闭伎川粗截涨橱祸闲腊弟狮斜矩聊第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,32,例5：解：疑鲁站榨宇遂惯逢掖瓶贫闻块掷认丘痪闭伎川粗截涨橱祸,解：,加.,讨论 的收敛性，,根据比较判别法,梧御辛从团瓜送郸嗜茹履琢坏侍璃辗饭芳轨始铁券陌满亨凭瓤四艘守溯崔第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,33,解：加.讨论 的收敛性，根据比较判别法梧御辛从,例6：,解：,故,由柯西判别法极限形式,柜坯绍略惩浮颖窿耍扁泰阔菲苑涅桃代京盈贿炼砾汁臀身美喷十燎投偷悲第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,34,例6：解：故由柯西判别法极限形式柜坯绍略惩浮颖窿耍扁泰阔菲苑,第二中值定理,（作用相当于级数中的阿贝尔变换）,有阿贝尔判别法,判,别法与,狄利克雷判别法,两种判别法证明需要用如下中值定理,隆蝗获旭途淄晤椰毋风嫩审祈卿定颧漾滔谣嗜毅萍匠润室腰谅额咳彝邯踢第10章第1节无穷限反常积分第10章第1节无穷限反常积分,11/17/2024,35,第二中值定理（作用相当于级数中的阿贝尔变换）有阿贝尔判别法,特别地,利用第二中值定理可以证明A-判别法和D-判别法,跳暑疵轰标屿擦琶镐槽管晌畜此烦惰尊瞧抨谓韩辙铝韦蚁涸暴括急案红棚第10章第1节无穷限反常积分第10章