,附录,截面的几何性质,-1,截面的静矩和形心位置,设任意形状截面如图所示。,1.静矩（或一次矩）,(,常用单位：m,3,或mm,3,。值：可为正、负或 0。）,2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）,O,x,d,A,y,y,x,C,西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室,附录 截面的几何性质-1 截面的静矩和形心位置,3.静矩与形心坐标的关系,结论：截面对形心轴的静矩恒为,0,，反之，亦然。,4.组合截面的静矩,由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和:,3.静矩与形心坐标的关系结论：截面对形心轴的静矩恒为0，,例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的,x,轴的静矩。,解：,取平行于,x,轴的狭长条，,所以对,x,轴的静矩为,O,x,y,b,(,y,),y,d,y,h,b,例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。,例：试计算图示截面形心,C,的位置。,解：将截面分为1、2两个矩形。,建立坐标系如图示。,各矩形的面积和形心坐标如下：,O,x,y,y,1,120,10,x,x,80,10,y,C,(,y,x,),矩形I,矩形II,例：试计算图示截面形心C的位置。解：将截面分为1、2两个矩形,代入组合截面的形心坐标公式,解得：,代入组合截面的形心坐标公式解得：,I2,极惯性矩 惯性矩 惯性积,设任意形状截面如图所示。,1.极惯性矩（或截面,二次极矩）,2.,惯性矩（或截面二次,轴矩）,（为正值，单位m,4,或 mm,4),所以,（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）,O,x,y,y,x,r,d,A,I2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 设任意形状截面,3.,惯性积,（其值可为正、负或0，单位:m,4,或 mm,4,),截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。,结论：,4.惯性半径,（单位m,或 mm）,O,x,y,y,x,r,d,A,3.惯性积（其值可为正、负或0，单位:m4 或 mm4),例 试计算图,a,所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）,x,和,y,的惯性矩。,解：,取平行于,x,轴的狭长条，,则 d,A,=,b,d,y,同理,y,h,C,x,d,y,y,b,(a),例 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的,例：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的,惯性矩。,x,d,y,y,x,解：,由于圆截面有极对称性，,所以,所以,例：试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。xd,-3,惯性矩和惯性积的平行移轴公式,组合截面的惯性矩和惯性积,1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式,设有面积为,A,的任意形状的截面。,C,为其形心，,Cx,c,y,c,为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为,Oxy,形心,C,在O,xy,坐标系下的坐标为(,a,b,),任意微面元d,A,在两坐标系下的坐标关系为：,a,y,c,y,x,c,x,C,O,b,d,A,x,c,y,c,y,x,-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式1.惯性矩和惯性积的,同理，有：,（,此为,平行移轴公式,）,注意：,式中的,a、b,代表坐标值，有时可能取负值。,等号右边各首项为相对于形心轴的量。,同理，有：（此为平行移轴公式）注意：式中的a、b代表坐标值,2.组合截面的惯性矩和惯性积,根据,惯性矩和惯性积,的定义易得,组合截面对于某轴的,惯性矩（或惯性积）,等于其各组成部分对于同一轴的,惯性矩（或惯性积）,之和,：,2.组合截面的惯性矩和惯性积 根据惯性矩和惯性,例：求图示直径为,d,的半圆对其自身形心轴,x,c,的,惯性矩。,解：,（1）求形心坐标,x,y,b(y),y,c,C,d,x,c,例：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：（1,（2）求对形心轴,x,c,的,惯性矩,由,平行移轴公式得：,x,y,b(y),y,c,C,d,x,c,（2）求对形心轴xc的惯性矩由平行移轴公式得：xyb(y),例：试求图,a,所示截面对于对称轴,x,的,惯性矩。,解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。,（1）矩形对,x,的,惯性矩：,（2）一个半圆对其自身形心轴,x,c,的,惯性矩（见上例）,x,y,C,(a),d,=80,40,100,a,=100,40,a,+,2d,3,p,例：试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一,（3）一个半圆对,x,的,惯性矩：,由,平行移轴公式得：,（4）整个截面对于对称轴,x,的,惯性矩：,（3）一个半圆对x的惯性矩：由平行移轴公式得：（4）整个截面,-4,惯性矩和惯性积的转轴公式,截面的主惯性轴和主惯性矩,1.惯性矩和惯性积的转轴公式,任意面元d,A,在旧坐标系,oxy,和新坐标系,ox,1,y,1,的关系为：,代入,惯性矩,的定义式：,x,y,O,x,y,a,x,y,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,x,y,1,1,-4 惯性矩和惯性积的转轴公式1.惯性矩和惯性积的转轴,2.截面的主惯性轴和主惯性矩,(1),主惯性轴:截面对其惯性积等于,0,的一对坐标轴。,(2),主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。,(3),形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。,(4),形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。,2.截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴:截面对其惯性积,思考,：,O,为直角三角形,ABD,斜边上的中点，,x、y,轴为过点,且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知,b,a,)：,（A）,I,xy,（B）,I,xy,(C),I,xy,=（D）,I,x,=,I,y,正确答案是,(C),x,A,B,D,y,O,a,b,思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点且分,