单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/9/14,#,收敛数列的性质,教学目的,：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。,教学要求,：（）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、,（）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性,定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。,1.,唯一性,定理,每个收敛的数列只有一个极限,.,若数列,收敛，,则它只有一个极限。,一、数列极限的性质,证,故极限唯一,.,由定义,2.,有界性,定理2.3,收敛的数列必定有界,.,证,由定义,注意：,有界性是数列收敛的必要条件,.,推论,无界数列必定发散,.,3.,保号,性,定理2.4,若,（或,），则对任何,（或,），存在正数，使,时有,（或,）。,得当,4.保不等性,定理2.5,设数列,与,均收敛，若存在正数,使得当,时有,，则,。,，,思考,：如果把条件,“,”换成“,把结论换成,”，那么能否,？,证,5.,夹逼准则,本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。,设收敛数列,、,都以a为极限，数列,满足：存在正数,，当,时有,则数列,收敛，且,.,定理2.6,上两式同时成立,证,注意:,例2,求数列 的极限。,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例3,解：记 ，这里 ，则有：,左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证,。,解,由夹逼定理得,6、极限运算法则,例：求,解：由于,所以,例：求,解：,例4 求,解:,解：若,则,若,，则由,有,若,，则,例5,求,解：由于,故,从而,二,数列的子列,子列的定义,定义,设,为正整数集,的无限,称为数列,的一,个子列,，简记为,.,子集，且,注1,的子列,的各项都来自,且保持这些项在,中的的先后次序,为数列，,则数列,注,2,子列,中的,表示,是,中的第,项，,表示,是,中的第,k,项,注3,数列,本身以及,去掉有限项以后得到的子列，称为,的,平凡子列,；不是平凡子列的子列，称为,平凡子列,。,的,非,数列,与它的任一平凡子列同为收敛或发散，,时有相同的极限,。,且在收敛,定理2.8,数列,收敛,的任何非平凡子,列都收敛。,2 子列与其本敛散性关系,若数列,有一个子列发散，或有两个子列收敛而,注,极限不相等，则数列,一定发散。,如,收敛于是1,收敛于是-1。,故,发散,经常,不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有,力量,Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will,Be,学习总结,结束语,当,你尽了自己的最大努力,时,，,失败,也是伟大,的，所以不要放弃，坚持就是正确的。,When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The,End,演讲,人：,XXXXXX,时,间：,XX,年,XX,月,XX,日,