第五讲 电磁场的能量,电磁场的能量,电磁场的能量,问题一：为什么说电磁场具有能量？,电场对位于场域中电荷有,作用力,，磁场对位于场域中电流有,作用力,，说明电磁场具有能量。,问题二：,电磁场能量来源于何处？,建立电磁场的过程中，,外源做功,转换为电磁场能量。,问题三：,电磁场能量分布于何处？,只要电、磁场,不为零,的空间，均存在电磁能量分布。,问题一：为什么说电磁场具有能量？电场对位于场域中电荷,在某一 时刻：电荷分布为 、电位分布为 。,一、静电场的能量,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中,外源,提供的能量。,1,、分布电荷静电场能量,设系统从零开始充电，最终的电荷分布为,、电位为,。电荷增加系数为,当,增加为,体积元,dV,中增加电荷,外电源所做的功转换为电场能量,W,e,，即,外电源所做的总功,外电源对,dV,做功为,:,在某一 时刻：电荷分布为 、电位分布为,一、静电场的能量,2,、多点电荷静电场能量,对,N,个点电荷组成的系统，电荷体密度为,利用,函数的选择性,点电荷相互作用能,式中 为其他电荷在,i,电荷位置处产生电位，不含,i,电荷在自身处产生电位,多点电荷静电场能量：,一、静电场的能量2、多点电荷静电场能量对N个点电荷组成的系统,一、静电场的能量,3,、多带电导体系统静电场能量,N,个带电导体组成的系统的总电场能量为：,式中 为所有带电导体,(,含,i,导体,),在,i,导体处产生电位,多带电导体系统静电场能量,导体带电时，电荷均分布于导体表面,面电荷,。,i,导体电荷面密度,i,导体电荷电位,一、静电场的能量3、多带电导体系统静电场能量N个带电导体组成,能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电,荷分布的区域，所以,被积函数,不表示能量密度,关于静电场能量表达式的说明,讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以,只适用于静电场,积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域,积分为零，所以积分也可以为整个空间,一、静电场的能量,能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电关,一、静电场的能量,4,、电场能量密度,电场能量密度：,电场总能量：,积分区域为电场所在的整个空间,对于线性、各向同性介质，有：,推证,一、静电场的能量4、电场能量密度 电场能量密度：电场总能量,考查第一项：,在上式中，为整个空间，即,S,为包围整个空间的闭合面，,电场能量密度,式中：为整个电场空间,电场能量密度公式推导：,考查第一项：在上式中，为整个空间，即S为包围整个空间的闭合,二、恒定磁场的能量,恒定磁场能量来源于建立电流过程中,外源,提供的能量。,恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给能量，全部转化成磁场能量。,1,、体电流的磁场能量,若电流为体电流分布，则其在空间中产生的磁能为：,式中：为体电流 在,dV,处产生的磁位。,V,为整个空间。,上式只适用于恒定磁场,被积函数,不代表能量密度,二、恒定磁场的能量 恒定磁场能量来源于建立电流过程中外源提,二、恒定磁场的能量,2,、多电流回路系统的磁场能量,N,个回路系统，,i,回路自感为 ，,i,回路与,j,回路间互感为 ，,i,回路电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为,:,若回路为单回路系统，则,若回路为双回路系统，则,关于电流回路系统磁场能量的讨论,二、恒定磁场的能量2、多电流回路系统的磁场能量 N个回,二、恒定磁场的能量,3,、磁场能量密度,磁场能量密度：,磁场能量：,对于线性、各向同性媒质，则有,积分区域为电场所在的整个空间,推证,二、恒定磁场的能量3、磁场能量密度磁场能量密度：磁场能量,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,N个回路系统，i回路自感为 ，i回路与j回路间互感为 ，i回路电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为:,【例2】求同轴线单位长度内储存的磁场能量。,N个回路系统，i回路自感为 ，i回路与j回路间互感为 ，i回路电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为:,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,瞬时坡印廷矢量反映某时刻的电磁能量流动情况。,(续前)(b)要使场存在，则场量须满足麦克斯韦方程组,平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。,1、分布电荷静电场能量,根据高斯定理求得电场强度,2、坡印廷定理电磁能量守恒定律,V为整个空间。,得：,磁能密度,为,磁场能量密度公式推导：,三、电磁能量及电磁能量守恒定律得：磁能密度为磁场能量密度公式,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,1,、电磁能量,电磁,能量密度,：,单位体积中电磁场的能量,。为电场能量和磁场能量之和。,电场能量密度：,磁场能量密度：,电磁场能量密度：,体积,V,内总能量：,三、电磁能量及电磁能量守恒定律1、电磁能量 电磁能量密度,进入,体积,V,的能量体积,V,内,增加,的能量体积,V,内,损耗,的能量,问题：数学表示？,2,、坡印廷定理,电磁能量守恒定律,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,坡印廷定理描述了有限区域内的电磁能量守恒关系。,进入体积V的能量体积V内增加的能量体积V内损耗的能量问题,2,、坡印廷定理,电磁能量守恒定律,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,区域,V,内,电磁场,能量密度,：,单位体积中电磁场的能量,，为电场能量和磁场能量之和。,体积,V,内总能量：,启示：围绕体积内储能随时间,的变化来描述能量关系,2、坡印廷定理电磁能量守恒定律三、电磁能量及电磁能量守恒,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,2,、坡印廷定理,电磁能量守恒定律,坡印廷定理积分形式：,体积,V,内增加的电磁功率,体积,V,内损耗的电磁功率,流入体积,V,的电磁功率,（,新物理量,）,坡印廷定理,物理意义：单位时间内流入体积,V,内的电磁能量等于体积,V,内增加的电磁能量与体积,V,内损耗的电磁能量之和。,坡印廷定理微分形式：,推证,三、电磁能量及电磁能量守恒定律2、坡印廷定理电磁能量守恒,坡印廷定理推导：,坡印廷定理微分形式,两式相减，得,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,2,、坡印廷定理,电磁能量守恒定律,坡印廷定理推导：坡印廷定理微分形式两式相减，得三、电磁能,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,3,、坡印廷矢量,重要概念：,坡印廷矢量,流入体积,V,的电磁功率,物理含义：,通过垂直于能量传输方向单位面积的电磁功率（,功率流密度,）。,坡印廷矢量,定义：,坡印廷矢量描述了时变电磁场中,电磁能量传输,（流动）的特性,注：上式与时间有关，故也称,瞬时坡印廷矢量,。,三、电磁能量及电磁能量守恒定律3、坡印廷矢量重要概念：坡印廷,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,3,、坡印廷矢量,平均坡应廷矢量,瞬时坡印廷矢量反映,某时刻,的电磁能量流动情况。,平均坡印廷矢量反映一个,时间周期内,的电磁能量传递情况。,平均坡印廷矢量,：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。,注：与,时间,t,无关,。,三、电磁能量及电磁能量守恒定律3、坡印廷矢量平均坡应廷矢量,四、典型例题,【,例,1】,半径为,a,的球形空间内均匀分布有电荷体密度为,的电荷，试求总静电场能量（球内外介质均为真空）。,解法一,:,利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,四、典型例题【例1】半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷,四、典型例题,(,续前,),解法二,:,利用 计算,故,根据高斯定理求得电场强度,四、典型例题(续前)解法二:利用 计算,【,例,2】,求同轴线单位长度内储存的磁场能量。,解：,如图所示，同轴线的内导体半径为,a,外导体的内半径为,b,，外导体的外半径为,c,。,内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率,均为,设电流为,I,，根据安培环路定律求出磁场分布,四、典型例题,由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为,【例2】求同轴线单位长度内储存的磁场能量。解：如图所示，,同轴线单位长度储存的总磁场能量为,四、典型例题,(,续前,),同轴线单位长度储存的总磁场能量为四、典型例题(续前),【,例,3】,已知无源区域的,场为,。求,(,a,),磁场强度，,(,b,),场存在的必要条件，,(,c,),单位面积的瞬时功率流和平均功率流。,解,:,(,a,),电场为,:,，用,求,场。,由,，得,四、典型例题,【例3】已知无源区域的场为。求(a)磁场强度，(b)场,(,续前,),(,b,),要使场存在，则场量须满足麦克斯韦方程组,易推得：,四、典型例题,场存在的必要条件,(续前)(b)要使场存在，则场量须满足麦克斯韦方程组易推,(,续前,),(,c,),坡印廷矢量,四、典型例题,平均坡印廷矢量,(续前)(c)坡印廷矢量四、典型例题平均坡印廷矢量,课堂练习,已知无源区域存在时变电磁场，其电场矢量为,求垂直于传播方向上单位面积内的功率流及平均功率流。,课堂练习 已知无源区域存在时变电磁场，其电场矢量为求垂直于,作 业,3.8 3.9,作 业3.8 3.9,