单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第六章 二次型,6.1,二次型及其标准形,6.2,用配方法化二次型为标准形,6.3,用初等变换法化二次型为标准形,6.4,正定二次型,11/17/2024,1,第六章 二次型6.1 二次型及其标准形6.2 用配方法化,第十四次课,掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念,了解合同变换和合同矩阵的概念,掌握二次型的标准形式,掌握用配方法化二次型为标准形的方法,教学内容,教学目标及基本要求,6.1,二次型及其标准形,6.2,用配方法化二次型为标准形,二次型的矩阵表示及用配方法化二次型为标准形,重 点,11/17/2024,2,第十四次课掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念 了解,6.1 二次型及其标准形,一、二次型及其矩阵表示,(P157定义6.1.1),quadratic form,11/17/2024,3,6.1 二次型及其标准形一、二次型及其矩阵表示(P157定,2.,矩阵表示形式：,令,平方项保持不变，交叉项取1/2,A,为,实对称矩阵,11/17/2024,4,2.矩阵表示形式：令,平方项保持不变，交叉项取1/2 A,说明,(1)：,二次型,实对称矩阵,A,一一对应,Matrix of a quadratic form,Rank of a quadratic form,11/17/2024,5,说明(1)：二次型实对称矩阵A一一对应Matrix of a,例,1,11/17/2024,6,例110/9/20236,二、二次型的标准形,给定二次型：,，怎样化二次型为标准形,（关键是寻找一个,可逆变换,）：,(P159定义6.1.2),canonical form of a quadratic form,11/17/2024,7,二、二次型的标准形给定二次型：，怎样化二次型为标准形（关键,即：,则：,11/17/2024,8,即：则：10/9/20238,故：关键是寻找,可逆变换,使得,(P160定义6.1.3),congruence of matrices,11/17/2024,9,故：关键是寻找可逆变换 使得(P160定义6.1.3)co,三、正交变换法化二次型为标准形,(P161定理6.1.1),11/17/2024,10,三、正交变换法化二次型为标准形(P161定理6.1.1)10,正交变换法化标准形的步骤,11/17/2024,11,正交变换法化标准形的步骤10/9/202311,用正交变换化为标准形。,例,1,解,二次型的矩阵为：,为,A,的特征值,11/17/2024,12,用正交变换化为标准形。例1解二次型的矩阵为：为A的特征值1,两,正交,的特征向量：,单位化得：,当,时,11/17/2024,13,两正交的特征向量：单位化得：当时10/9/202313,当,时,特征向量为：,取正交矩阵,则经正交变换,单位化得：,化为标准形：,11/17/2024,14,当时特征向量为：取正交矩阵则经正交变换单位化得：化为标准形,6.2 用配方法化二次型为标准形,例,1,11/17/2024,15,6.2 用配方法化二次型为标准形例110/9/202315,例,2,(P168例6.2.2),11/17/2024,16,例2(P168例6.2.2)10/9/202316,小 结,二次型：,平方项保持不变，交叉项取1/2,正交变换法化标准形的步骤,配方法化标准形,11/17/2024,17,小 结二次型：平方项保持不变，交叉项取1/2 正交变换法,提前预习,作 业,习题,6,(,A,)：,6.4,正定二次型,6.3,用初等变换法化二次型为标准形,11/17/2024,18,提前预习作 业习题6(A)：6.4 正定二次型6.3,