,好题精练,栏目索引,第八章 专题拓展,二次函数综合问题,第八章 专题拓展,1,1.,(2020济宁,21,9分)我们把方程(,x,-,m,),2,+(,y,-,n,),2,=,r,2,(,r,0)称为圆心为(,m,n,)、半径长为,r,的圆的标准方程.例如,圆,心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(,x,-1),2,+(,y,+2),2,=9.在平面直角坐标系中,C,与,x,轴交于点,A,B,且点,B,的坐标为(8,0),与,y,轴相切于点,D,(0,4),过点,A,B,D,的抛物线的顶点为,E,.,(1)求,C,的标准方程;,(2)试判断直线,AE,与,C,的位置关系,并说明理由.,1.(2020济宁,21,9分)我们把方程(x-m)2+(y,2,解析,(1)如图,连接,CD,CB,过点,C,作,CM,AB,于,M,.设,C,的半径为,r,.,C,与,y,轴相切于点,D,(0,4),CD,OD,CDO,=,CMO,=,DOM,=90,四边形,ODCM,是矩形,CM,=,OD,=4,CD,=,OM,=,r,B,(8,0),OB,=8,BM,=8-,r,在Rt,CMB,中,BC,2,=,CM,2,+,BM,2,解析(1)如图,连接CD,CB,过点C作CMAB于M.设,3,r,2,=(8-,r,),2,+4,2,解得,r,=5,C,(5,4),C,的标准方程为(,x,-5),2,+(,y,-4),2,=25.,(2),AE,是,C,的切线.,理由:连接,AC,CE,.,由(1)知,AM,=,BM,=3,A,(2,0),B,(8,0),设抛物线的解析式为,y,=,a,(,x,-2)(,x,-8),把,D,(0,4)代入,y,=,a,(,x,-2)(,x,-8),可得,a,=,抛物线的解析式为,y,=,(,x,-2)(,x,-8)=,x,2,-,x,+4=,(,x,-5),2,-,r2=(8-r)2+42,解得r=5,4,抛物线的顶点,E,AE,=,=,CE,=4+,=,AC,=5,EC,2,=,AC,2,+,AE,2,CAE,=90,CA,AE,AE,是,C,的切线.,抛物线的顶点E,5,2.,(2019枣庄,25,10分)已知抛物线,y,=,ax,2,+,x,+4的对称轴是直线,x,=3,与,x,轴相交于,A,B,两点(点,B,在点,A,右侧),与,y,轴交于点,C,.,(1)求抛物线的解析式和,A,B,两点的坐标;,(2)如图1,若点,P,是抛物线上,B,、,C,两点之间的一个动点(不与,B,、,C,重合),是否存在点,P,使四边形,PBOC,的面,积最大?若存在,求点,P,的坐标及四边形,PBOC,面积的最大值;若不存在,请说明理由;,(3)如图2,若点,M,是抛物线上任意一点,过点,M,作,y,轴的平行线,交直线,BC,于点,N,当,MN,=3时,求点,M,的坐标.,2.(2019枣庄,25,10分)已知抛物线y=ax2+x,6,7,解析,(1)抛物线的对称轴是直线,x,=3,-,=3,解得,a,=-,抛物线的解析式为,y,=-,x,2,+,x,+4.,当,y,=0时,-,x,2,+,x,+4=0,解得,x,1,=-2,x,2,=8,点,B,在点,A,右侧,点,A,的坐标为(-2,0),点,B,的坐标为(8,0).,(2)当,x,=0时,y,=-,x,2,+,x,+4=4,点,C,的坐标为(0,4).,解析(1)抛物线的对称轴是直线x=3,8,设直线,BC,的解析式为,y,=,kx,+,b,(,k,0),将(8,0),(0,4)代入,y,=,kx,+,b,得,解得,直线,BC,的解析式为,y,=-,x,+4.,假设存在点,P,使四边形,PBOC,的面积最大,设点,P,的坐标为,(0,x,8),如图所示,过点,P,作,PD,y,轴,交直线,BC,于点,D,则点,D,的坐标为,则,PD,=-,x,2,+,x,+4-,=-,x,2,+2,x,=,S,BOC,+,S,PBC,设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),将(8,0),(,9,=,8,4+,PD,OB,=16+,8,=-,x,2,+8,x,+16,=-(,x,-4),2,+32.,0,x,8,当,x,=4时,四边形,PBOC,的面积最大,最大值是32.,存在点,P,(4,6),使得四边形,PBOC,的面积最大,四边形,PBOC,面积的最大值为32.,=84+PDOB,10,(3)设点,M,的坐标为,则点,N,的坐标为,MN,=,=,又,MN,=3,=3,11,当0,m,8时,-,m,2,+2,m,-3=0,解得,m,1,=2,m,2,=6,点,M,的坐标为(2,6)或(6,4);,当,m,8时,-,m,2,+2,m,+3=0,解得,m,3,=4-2,m,4,=4+2,点,M,的坐标为(4-2,-1)或(4+2,-,-1).,综上,点,M,的坐标为(2,6)或(6,4)或(4-2,-1)或(4+2,-,-1).,当0m3,E,(,n,n,-3),D,(,n,0),PE,=,n,2,-3,n,DE,=,n,-3.,(9分),点,P,到直线,BC,的距离是点,D,到直线,BC,的距离的5倍,以,BE,为底的,BEP,的面积是以,BE,为底的,BED,面积的5倍,即,S,BEP,=5,S,BED,.,S,BEP,=,PE,BD,S,BED,=,DE,BD,33,PE,BD,=5,DE,BD,PE,=5,DE,.,(11分),n,2,-3,n,=5(,n,-3),即(,n,-3)(,n,-5)=0,解得,n,=3或,n,=5.,n,3,n,=5,y,=5,2,-2,5-3=12,点,P,的坐标为(5,12).,(12分),思路分析,(1)用待定系数法可求出,b,、,c,的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点,F,的坐标;(3)求出直线,BC,的解析式,设出点,P,点,E,的坐标,再分别表示线段,PE,DE,的长,将题中的距离关系转化为三角形的面积关,系,可得,S,BEP,=5,S,BED,进而得出,PE,=5,DE,解方程求出点,P,的坐标.,PEBD=5DEBD,思路分析(1)用待定系数,34,7.,(2020湖南常德,25,10分)如图,已知抛物线,y,=,ax,2,过点,A,.,(1)求抛物线的解析式;,(2)已知直线,l,过点,A,M,且与抛物线交于另一点,B,与,y,轴交于点,C,求证:,MC,2,=,MA,MB,;,(3)若点,P,D,分别是抛物线与直线,l,上的动点,以,OC,为一边且顶点为,O,C,P,D,的四边形是平行四边形,求所有,符合条件的,P,点坐标.,7.(2020湖南常德,25,10分)如图,已知抛物线y=a,35,解析,(1)把点,A,代入,y,=,ax,2,得,=9,a,a,=,抛物线的解析式为,y,=,x,2,.,(3分),(2)证明:设直线,l,的解析式为,y,=,kx,+,b,(,k,0),则,解得,直线,l,的解析式为,y,=-,x,+,解析(1)把点A代入y=ax2,36,令,x,=0,得,y,=,C,由,解得,或,B,.,如图,过点,A,作,AA,1,x,轴于,A,1,过点,B,作,BB,1,x,轴于,B,1,则,BB,1,OC,AA,1,令x=0,得y=,C,37,=,=,=,=,=,=,=,即,MC,2,=,MA,MB,.,(7分),(3),OC,为一边且顶点为,O,C,P,D,的四边形是平行四边形,38,PD,OC,PD,=,OC,如图,设,P,D,.,=,PDOC,PD=OC,39,整理得,t,2,+2,t,-6=0或,t,2,+2,t,=0,解得,t,=-1-,或-1+,或-2或0(舍去),P,或,或(-2,1).,(10分),思路分析,(1)利用待定系数法即可求出解析式.,(2)构建方程组确定点,B,的坐标,再利用平行线分线段成比例定理分别求得,和,的值,进而得到,=,即可证明.,(3)根据题意设,P,D,根据,PD,=,OC,构建方程,求出,t,即可解决.,整理得t2+2t-6=0或t2+2t=0,思路分析(1)利,40,