单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.3,误差传播定律,在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。阐述这种关系的定律称为误差传播定律。,倍数,函数,和差,函数,线性,函数,一般,函数,函数形式,5.3 误差传播定律倍数函数函数形式,1,在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。,非线性函数,表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为,误差传播定律,。,例如：,h=a-b 线性函数,误差传播定律：,在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间,2,设非线性函数的一般式为：,式中：为独立观测值；,为独立观测值的中误差。,求函数的全微分,，并用“”替代“d”，得,一、一般函数,设非线性函数的一般式为：一、一般函数,3,函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。,函数的真误差和独立观测值的真误差之间的关系式。,4,假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：,假如对各独立观测值观测了n次，则可列出n个真误差关系式：,5,以上等式两边平方后相加：,对n,个式取总和：,以上等式两边平方后相加：对n个式取总和：,6,上,式两边除以n，得式,：,由偶然误差的抵偿性知：,上式最后一项为0，则,：,前面各项,上式两边除以n，得式：由偶然误差的抵偿性知：上式最后一项为0,7,所以,并根据中误差公式,即,代入上式，得中误差关系式：,考虑,所以并根据中误差公式即代入上式，得中误差关系式：考虑,8,求任意函数中误差的方法和步骤：,2、写出真误差关系式，对函数进行全微分：,3、写出中误差的关系式：,1、列出独立观测值的函数式：,求任意函数中误差的方法和步骤：2、写出真误差关系式，对函数进,9,例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D,解：1.函数式,2.全微分,3.求中误差,例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角,10,1.倍数函数的中误差,设有函数式 (x,为观测值，K为x的系数),全微分,得中误差式,例：,量得 地形图上两点间长度,=168.5mm,0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差m,s,：,解：,列函数式,求全微分,中误差式,二.几种常用函数的中误差,1.倍数函数的中误差例：量得 地形,11,2.线性函数的中误差,设有函数式,全微分,中误差式,例：,设有某线性函数,其中,、分别为独立观测值，它们的中误差分,别为,求Z,的中误差 。,解：,对上式全微分：,由中误差式得：,2.线性函数的中误差 设有函数式例：设有某线性函,12,函数式,全微分,中误差式,3.算术平均值的中误差式,由于等精度观测时，代入上式：,得,由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误,差,缩小了,倍。,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，,是提高观测成果精度最有效的方法。,函数式3.算术平均值的中误差式 由于等精度观,13,4.和或差函数的中误差,函数式：,全微分,：,中误差式：,当等精度观测时：,上式可写成：,例：,测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量,每站高差的中误差 ，求总高差 的中,误差 。,解：,4.和或差函数的中误差 函数式：当等精度观测时：例：测定A,14,观测值函数中误差公式汇总,观测值函数中误差公式汇总,函数式 函数的中误差,一般函数,倍数函数,和差函数,线性函数,算术平均值,观测值函数中误差公式汇总,15,例1：,测得圆形半径r1.465m，已知中误差m2mm，求周长及周长中误差。,返回,例1：测得圆形半径r1.465m，已知中误差m2mm，,16,观测值的算术平均值,(,最或是值,),用观测值的改正数v计算观测值的,中误差,(,即:白塞尔公式),算术平均值的相对中误差,第四节 等（同）精度直接观测平差,观测值的算术平均值(最或是值)第四节 等（同）精度,17,一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值),证明算术平均值为该量的最或是值：,设该量的真值为X，则各观测值的真误差为,1,=,1,-,X,2,=,2,-,X,n,=,n,-,X,对某,未知量,进行了n,次观测，得n个观测值,1,2,n,则该量的算术平均值为：,x=,1,+,2,+,n,n,n,上式等号两边分别相加得和：,L=,一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平,18,当观测无限多次时：,得,两边除以,n,：,由,当,观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该,量的真值；,当,观测次数有限时，观测值的算术平均,值最接近真值。所以，,算术平均值是最或是值,。,L,X,当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观,19,精度评定,比较前面的公式，可以证明，两式根号内的,部分是相等的，,即在,与,中：,精度评定,用观测值的改正数v计算中误差,一.计算公式(即白塞尔公式)：,精度评定 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的即在,20,证明如下：,真误差：,改正数：,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平,21,证明两式根号内相等,中误差,定义:,白塞尔,公式:,证明两式根号内相等中误差白塞尔,22,解：,该水平角,真值未知,，可用,算术平均值的改正数,V,计,算其中误差：,例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，,求其算术平均值及观测值的中误差。,算例1:,次数,观测值,V,V V,备注,1,76,4249,-4,16,2,76,4240,+5,25,3,764242,+3,9,4,764246,-1,1,5,764248,-3,9,平均,76,4245,V=0,VV=60,76,42,45,1.74,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计例：对某水平,23,例5-2,某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。,测次,观测值,/m,观测值,改正数,v,/m m,vv,计 算,1,2,3,4,5,6,平均,148.643,148.590,148.610,148.624,148.654,148.647,148.628,-15,+38,+18,+4,-26,-19,225,1444,324,16,676,361,3046,返回,例5-2 某一段距离共丈量了六次，结果如,24,第五节 误差传播定律的应用,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差,m,15,。,例1：,要求三角形最大闭合差,m,15,，问用DJ6,经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？,=(,1,+,2,+,3,),-,180,解：,由题意：,最大闭合差即,2m=,15,则 m=,7.5,每个角的测角中误差,：,由于DJ6一测回角度中误差为：,由角度测量,n测回,取平均值的中误差公式：,第五节 误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形,25,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度,基本公式：,求全微分：,水平距离中误差：,其中：,误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度,26,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(2)测量高差的精度,基本公式：,求全微分：,高差中误差：,其中：,误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度,27,作业:1用20m钢尺进行距离丈量，已知一整尺段之中误差为0.005m，今用该尺测量直线AB，其D往=99.972m，D返=99.988m，求其平均距离D之中误差。,2用J2经纬仪对一个角测量了6个测回，其结果为：534915（11，22，16，18，14），求算术平均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。,3在等精度观测中，对一个角度测了4个测回，得其平均值之中误差为15，若使平均值中误差小于10，则至少应观测多少个测回,？,4.,设有函数Z=L*cosA式中L=121.11m0.06mm,A=78491820.5,试求Z的中误差.,作业:1用20m钢尺进行距离丈量，已知一整尺段之中误差为,28,