单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章 截面的几何性质,材料力学,第四章 截面的几何性质,A,1,第四章 截面的几何性质材料力学第四章 截面的几何性质A1,第四章 平面图形的几何性质,第一节 静矩和形心,第二节 惯性矩、极惯性矩,第三节 平行移轴公式,第四节 转轴公式,平面图形几何性质小结,第四章 截面的几何性质,第五节,形心主惯性轴和形心主惯性矩,2,第四章 平面图形的几何性质第一节 静矩和形心第二节 惯性矩、,第一节,静矩和形心,一、,简单图形的静矩,1、,定义：,ydAdA对z轴的微静矩。,zdAdA对y轴的微静矩。,z,y,o,dA,y,z,第四章 截面的几何性质,3,第一节 静矩和形心一、简单图形的静矩1、定义：ydAd,z,y,b,h,z,c,a,2、量纲,：长度,3,；单位：m,3,、cm,3,、mm,3,。,3、静面矩是对轴而言,。,4、静面矩的值可以是正值、负值、或零。,5、静面矩的几个规律：,bdy,hdz,第四章 截面的几何性质,4,zybhzca2、量纲：长度3；单位：m3、cm3、mm,图形对过,形心轴的静面矩为零,，反之图形对某轴的静面,矩为零，则此轴一定过图形的形心。,图形对,对称轴的静面矩一定为零,。,二、简单图形的形心,1、由静面矩的规律可知,形心坐标,：,zdA+(-zdA)=0,z,y,dA,dA,z,-z,A,1,A,2,S,y,=S,y右,+S,y,左,=0,S,z,=Ay,c,；,S,y,=Az,c,。可以作为公式使用。,第四章 截面的几何性质,5,图形对过形心轴的静面矩为零，反之图形对某轴的静面 图形,2、形心确定的规律：,（1）、图形有对称轴时，,形心必在此对称轴上,。,（2）、图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。,三、组合图形的静面矩：,四、组合图形的形心：,第四章 截面的几何性质,6,2、形心确定的规律：（1）、图形有对称轴时，形心必在此对称轴,例1,：如图所示，求绿色图形对 Z、Y轴的静面矩及图形的形心。,Y,860,1400,50,16,16,16,Z,（Y轴为对称轴）,C1（0；700）,C2（0；717）,（图形对对称轴的静面矩为零）,解：,c,第四章 截面的几何性质,7,例1：如图所示，求绿色图形对 Z、Y轴的静面矩及图形的形心。,例2,试确定下图的形心。,80,120,10,10,图（a）,c,(19.5;39.7),z,y,C1(45;5),C2(5;60),解：,1、图形分割及坐标如图（a）,第四章 截面的几何性质,8,例2 试确定下图的形心。801201010图（a）c(19.,图（b）,例,试确定下图的形心。,c,(-20.3;34.7),解：,2、图形分割及坐标如图（b）,z,y,C1（0，0）,C2（-35，60）,第四章 截面的几何性质,9,图（b）例 试确定下图的形心。c(-20.3;34.7)解：,3、图形分割及坐标如图（c）,80,120,10,10,图（c）,负面积,2,C,z,y,C,1,C1（0，0）,C2（5，5）,c,(-20.3;-20.3),第四章 截面的几何性质,10,3、图形分割及坐标如图（c）801201010图（c）负面积,第二节 惯性矩和极惯性矩,一、简单图形的惯性矩,1、定义,：,y,2,dAdA对z轴的微惯性距，,z,2,dAdA对y轴的微惯性距。,2、量纲,：长度,4,。单位：m,4,、cm,4,、mm,4,。,z,dA,y,z,y,o,第四章 截面的几何性质,11,第二节 惯性矩和极惯性矩一、简单图形的惯性矩1、定义：y2,3、惯性矩是对轴而言,（轴惯性矩）。,4、惯性矩的取值恒为正值,。,二、极惯性矩,：,（对点而言）,轴惯性矩与极惯性矩的关系,：,图形对任一相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。,第四章 截面的几何性质,z,dA,y,z,y,o,12,3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。,b,h,z,c,c,y,c,三、简单图形惯性矩的计算,圆形截面：,实心（直径D）,空心（外径D，内径d）,矩形截面：,bdy,hdz,第四章 截面的几何性质,z,c,y,c,c,13,bhzccyc三、简单图形惯性矩的计算 圆形截面：实心（直,四、惯性半径：,五、简单图形的惯性积,1、定义：,2、量纲,：长度,4,。单位：m,4,、cm,4,、mm,4,。,3、惯性积是对轴而言,。,dA,y,z,z,y,o,第四章 截面的几何性质,4、惯性积的取值为正值、负值、零,。,14,四、惯性半径：五、简单图形的惯性积1、定义：2、量纲：长度,规律：,z,dA,dA,z,-z,A,1,A,2,两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对包含此对称轴的一对坐标轴的惯性积定为零。,第四章 截面的几何性质,I,YZ,=,yzdA,1,-yzdA,2,=0,15,规律：zdAdAz-zA1A2两坐标轴中，只要有一个轴为图形,X,Y,h,b,第四章 截面的几何性质,例 试计算图4.7所示矩形截面对其形心轴,x,、,y,的惯性矩,I,x,和,I,y,、I,P,、,I,xy,。,(2)计算截面对,y,轴的惯性矩,I,y,，同理有：,hdx,微面积,dA,，则有,A=bdy,（3）极惯性矩I,P,（4）惯性积：,bdy,解：,(1)计算截面对,x,轴的惯性矩,I,x,16,XYhb第四章 截面的几何性质例 试计算图4.7所示矩形截,解：,z,y,dA,o,y,z,c,a,b,y,c,z,c,z,c,y,c,已知,：A、I,zc,、I,yc,、a、b、,z,c,平行z；y,c,平行y。,求,：I,z,、I,y,。,第三节 平行移轴公式,一、平移轴公式：,第四章 截面的几何性质,17,解：zydAoyzcabyczczcyc已知：A、Izc、I,z,y,dA,o,y,z,c,a,b,y,c,z,c,z,c,y,c,第三节 平行移轴公式,第四章 截面的几何性质,18,zydAoyzcabyczczcyc第三节 平行移轴公式第,二、组合图形的惯性矩、惯性积：,注意,：Z,C,、Y,C,必须是形心坐标。,a、b为图形形心在yoz坐标系的坐标值，有正负之分。,第四章 截面的几何性质,19,二、组合图形的惯性矩、惯性积：注意：ZC、YC 必须是形心坐,200,800,100,1000,例,：如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。,解：1、,取参考坐标轴 Z；Y（对称轴），,确定形心坐标。,Z,Y,Z,C1,Z,C2,C2（0；400）,C1（0；850）,2、,确定形心轴的惯性矩 I,ZC,、I,Y,（I,YC,）,Z,C,（Y,C,）,第四章 截面的几何性质,20,2008001001000例：如图所示，求图形对形心轴的惯性,200,800,100,1000,Z,Y,Z,C1,Z,C2,C2（0；400）,C1（0；850）,Z,C,（Y,C,）,第四章 截面的几何性质,a1,a2,21,2008001001000ZYZC1ZC2C2（0；400）,d,b,2,d,Z,（矩形的对称轴）,Y,（对称轴）,O,解,：,、,建立坐标系如图,。,、,求形心位置。,、,建立形心坐标系；求：I,yc,，I,zc,。,z c,y c,z,1,例,在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的惯性矩。,（b=1.5d),第四章 截面的几何性质,22,db2dZ（矩形的对称轴）Y（对称轴）O解：、建立坐标,第四章 截面的几何性质,23,第四章 截面的几何性质23,第四节 转轴公式,公式：,已知,：I,z,、I,y,、I,zy,、。,求,：I,z1,、I,y1,、I,z1y1,。,解：,第四章 截面的几何性质,z,y,d,A,y,z,z,1,a,y,1,y,1,z,1,24,第四节 转轴公式公式：已知：Iz、Iy、Izy、。求：I,y,z,y,z,I,I,I,I,1,1,+,=,+,第四章 截面的几何性质,因为,25,yzyzIIII11+=+第四章 截面的几何性质因为25,2、主惯性矩：,图形对主轴的惯性矩。,I,z0、,I,y0,为图形中惯性矩的最大和最小值。,一、几个概念：,1、主惯性轴（主轴）：,如果图形对某一对坐标轴的惯性积为零，则此对轴为主惯性轴。（I,z0y0,=0，z,0,、y,0,轴为主轴）。,第四章 截面的几何性质,y0,z0,如图：I,Y0Z0,=0，y0,z0,轴为主轴,I,z0，,I,y0,为主惯性矩,第五节,形心主惯性轴和形心主惯性矩,26,2、主惯性矩：图形对主轴的惯性矩。一、几个概念：1、主惯性轴,z,y,d,A,y,z,z,0,a,y,0,y,1,z,1,第四章 截面的几何性质,2,2,0,0,),2,(,2,zy,y,z,y,z,y,z,I,I,I,I,I,I,+,-,+,=,则：,27,zyd Ayzz0ay0y1z1第四章 截面的几何性质220,分析,第四章 截面的几何性质,28,分析第四章 截面的几何性质28,3、形心主惯性轴（形心主轴）：,如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（I,zcyc,=0。且 zc、yc 为形心轴。zc,0,、yc,0,为形心主轴）。,4、形心主惯性矩：,图形对形心主轴的惯性矩。（I,zc0,、I,yc0,）。,第四章 截面的几何性质,y0,z0,c,29,3、形心主惯性轴（形心主轴）：如果图形的两个主轴为图形的形心,5、求截面形心主惯性矩的基本思路,、建立坐标系。,、求形心位置。,、建立形心坐标系；求：I,yc,，I,zc,，I,zcyc,，,、求形心主轴方向,0,、,求形心主惯性矩,2,2,0,0,min,max,),2,(,2,zy,y,z,y,z,yc,zc,I,I,I,I,I,I,I,+,-,+,=,=,第四章 截面的几何性质,30,5、求截面形心主惯性矩的基本思路、建立坐标系。、求形心位,200,800,100,1000,例,：如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。,解：1、,取参考坐标轴 Z；Y（对称轴），,确定形心坐标。,Z,Y,Z,C1,Z,C2,C2（0；400）,C1（0；850）,Z,C,2、,确定形心轴的惯性矩 I,ZC,、I,Y,（I,YC,）,第四章 截面的几何性质,31,2008001001000例：如图所示，求图形对形心轴的惯性,此 Z,C,、Y,C,轴即为形心主轴，I,ZC,、I,YC,即为形心主惯性矩,第四章 截面的几何性质,32,此 ZC、YC 轴即为形心主轴，IZC、IYC 即为形心主,解,：,、,建立坐标系如图,。,、,求形心位置。,、,建立形心坐标系；求：I,yc,，I,zc,。,例,在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形对形心的惯性矩。,（b=1.5d),d,b,2,d,Z,（矩形的对称轴）,Y,（对称轴）,O,z c,y c,z,1,第四章 截面的几何性质,33,解：、建立坐标系如图。、求形心位置。、建立形心,此 Z,C,、Y,C,轴即为形心主轴，I,ZC,、I,YC,即为形心主惯性矩,第四章 截面的几何性质,34,此 ZC、YC 轴即为形心主轴，IZC、IYC 即为形心,例,试确定下图的形心主惯性矩。,80,120,10,10,Z,y,C1(45;5),C2(5;60),解：,1、图形分割及坐标如图,2、确定形心坐标,c,(19.5;39.7),Z,C,Y,C,第四章 截面的几何性质,35,例 试确定下图的形心主惯性矩。801201010ZyC1(4,3、,建立形心坐标系；求：I,yc,，I,zc,。,第四章 截面的几何性质,36,3、建立形心坐标系；求：Iyc，Izc。第四章 截面的,80,120,10,10,Z,y,C1(45;5),C2(5;60),c,(19.5;39.7),Z,C,Y,C,Z,CO,Y,CO,4、求形心主轴方向,0,第四章 截面的几何性质,37,801201010ZyC1(45;5)C2(