单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 偏导数,偏导数的定义及其计算法,偏导数存在与连续的关系,高阶偏导数,小结、作业,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。,对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。,一、偏导数的定义及其计算法,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,一般地 设,下面讨论,偏导数的计算方法,可以看出,:,定义,时,变量,y,是不变的,实际上,是对函数,将,y,视为,常数,关于变量,x,按,一元,函数导数的定义进行的：,实质上是,哇！爽！,求多元函数的偏导数,相应的一元函数的导数,.,实质上是求,忘记了,请赶快复习一下,.,如果一元函数的求导方法和公式,多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西,.,求偏导数时,只要将,n,个自变量,中的某一个看成变量,其余的,n,1,个,自变量均视为常数,然后按一元函数,的求导方法进行计算即可,.,解法一,解法二,解法三,将,y,看成常数,将,x,看成常数,例,解,将,y,看成常数时,是对幂函数求导,.,将,x,看成常数时,是对指数函数求导,.,例,解,例,解,例,解,注,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。,证,警告,各位,！,偏导数的符号,是一个整体记号,与,的商,.,不能像一元函数那样将,看成是,x,y,z,O,.,.,偏导数的几何意义,二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿,x,轴和,y,轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续,.,偏导数的几何意义说明了一个问题,:,二、偏导数存在与连续的关系,一元函数中在某点可导,连续，,多元函数中在某点偏导数存在,连续，,由,k,的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,解,但是,反之,解答,不能,.,例如,对多元函数来说,函数的偏导数,存在与否与函数的连续性无必然关系,.,这是多元函数与一元函数的,一个本质区别,.,想想是什么问题,?,三、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,.,解,=,问题：,混合偏导数一定与求导顺序无关吗？,例,解,解,另解,解,证毕,1,、偏导数的定义,2,、偏导数的计算、偏导数的物理意义、,偏导数的几何意义,4,、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的,充分,条件）,四、小结,3,、偏导数存在与连续性的关系,练习题,练习题答案,2,、,作业,P18 1,（4）,（6）,（8）,；3；5；,6,（3）,；7；8；9,（2）,