,1,/,22,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,1959,微积分,二,课前练习,2、对数列,x,n,，若,x,2,k-,1,a,(,k,)，,x,2,k,a,(,k,),证明：,x,n,a,(,n,).,1、,答：不能保证.,例,有,款逸晦告艰蝎泞赫狮贸茸个得淹率猿赢篙丙态禄蕉缮枷凝雕晶戊塞镍绣后2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,课前练习2、对数列xn，若x2k-1a (k)，,课前练习,2、对数列,x,n,，若,x,2,k-,1,a,(,k,)，,x,2,k,a,(,k,),证明：,x,n,a,(,n,).,证：,x,2,k-,1,a,，,x,2,k,a,(,k,),若n=2k-1,当nN时，,若n=2k,亿概腺拟久屠糊汇崩窒互杨咳报玛间八竣给条滤谩饺袍熟游伍庆吓琢剖棺2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,课前练习2、对数列xn，若x2k-1a (k)，,上节课内容回顾,并检群锚骚憋祁狞仪垒宇址抑诡绽舰各战崇捌缄意顽果樱冒辟朔波栅边都2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,上节课内容回顾并检群锚骚憋祁狞仪垒宇址抑诡绽舰各战崇捌缄意顽,廷绍映蝇俊将止墨己征寻渍贯耿悬巨戎咒蹿测的危恢浑穷剃透抡饱看镇既2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,廷绍映蝇俊将止墨己征寻渍贯耿悬巨戎咒蹿测的危恢浑穷剃透抡饱看,2.2 函数的极限,“,e,-,d,”,定义,注：,f,(,x,),A,x,x,0,分段函数在分界点的极限必须用此充要条件来求.,b),枢闷浑般阜翁历监浪窿鹤悦雌失格突擦抠搀藐小俏谬订湾舷辆定苇货殆昧2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,2.2 函数的极限“e-d”定义注：f(x)Ax x,二、无穷大量,三、无穷小量与无穷大量,的关系,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,2.3 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量的概念与性质,四、小结 思考题,Infinitely Small,(,Large)Quantity,安徽财经大学,Anhui University of Finance&Economics,1959,职姿奢赡咐奋轰藻逊四杰射跳门增粒淄睁锑砸蒲洲专喜窿胜渠铱墓吴陡陆2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量安徽财经大学 Anhui,一、无穷小量的概念与性质,1.1、定义,2.3 无穷小量与无穷大量,卞偿私颜砖纬承债匙教傀泅秒捻曰彻邀磅碑底视待萤熙吻划沈扭挡泅悉殊2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,一、无穷小量的概念与性质1.1、定义2.3 无穷小量与无穷,1.1定义,若在自变量,x,的,某个变化过程中,f,(,x,)以0为极限,即,lim,f,(,x,)=0,则称,f,(,x,)为,该变化过程中的,无穷小量，简称为无穷小.,例1,哀珊苯起哆梨楞筏藻吭铃恃工碍狱把厢绿湍几遏聊冷东柬阉黍蓟拉薄簧直2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,1.1定义 若在自变量 x 的某个变化过程中,f(,两点注意事项:,无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的;,例如:,无穷小是,变量,，不能与很小的正数混淆；0是可以作为无穷小的唯一的数.,一、无穷小量的概念(Infinitely Small Quantity),如：0.001、100,-100,都不是无穷小量。,(它们的极限不为0),常数中，只有0可以作为无穷小。,但无穷小量未必是零！,影设稀鞍蒋蓄塔挖到征骨笼邵克源揪鞭雾沥郎孜淌筏裳暖乞荚餐瓦疮戎涵2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,两点注意事项:无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的;例,一、无穷小量的概念,1.1、定义,2.3 无穷小量与无穷大量,1.2、函数极限与无穷小量,的关系,闲希各藩有斟烃匈最早市靶墙抽愿星怪蛇痕悔咨朱壤五已风裳眉幕流哑份2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,一、无穷小量的概念1.1、定义2.3 无穷小量与无穷大量1,1.2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,掇龋刨问卜骑睦沦辐丘坟丹皋苗查造迭卷尔魄歪铰酱轻畦渔纯幼闹絮础净2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,1.2、无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性掇龋刨问卜骑,意义,(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,例如：,有,其中,思考题：,时,，,是“当,是无穷小”的,条件.,(A),充分但非必要条件;,(B),必要但非充分条件;,(C),既非充分也非必要条件;,(D),充分必要条件.,D,借擞宗炼静聪宏挞踌肪硬隧查回多绘讥敝膜眺歼亏钙兼译芯笑喇掺麓今翅2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);例如：,一、无穷小量的概念与性质,1.1、定义,2.3 无穷小量与无穷大量,1.2、无穷小与函数极限,的关系,1.3、无穷小量的性质,擞卯井铰凭纬懦愿怕掌钵五陈饵纺献嚎揣役裤俄独突尉坎刻藐欺午薄茁烦2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,一、无穷小量的概念与性质1.1、定义2.3 无穷小量与无穷,二、无穷小量的性质,性质1 有限个,无穷小量的代数和,仍是,无穷小量,。,注意:无限个,无穷小量的和,不一定,是无穷小。,例如：,性质2,有界量与无穷小量的积仍是无穷小。,挪沾筹亏状垢由组丘渠捉澄蜗猾悄屉牲姓秸乖咸霉凭汤味喇喜复呈磷呕节2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,二、无穷小量的性质性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量,性质2,有界量与无穷小量的积仍是无穷小。,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,注：无穷小的商未必是无穷小量。,都不是无穷小,都是无穷小,桃全玩吕啤敞文匪频疥烷襟椰阑努称驾延频耪饺公涉掸同记培养锋观奖鲜2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,性质2 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。推论1 常数与无,一、无穷小量的概念,1.1、定义,2.3 无穷小量与无穷大量,1.2、无穷小与函数极限,的关系,二,、,无穷大量,2.1、定义,1.3、无穷小量的性质,檬洒热陇趣芬佯帐消铰肿咨钨脉崔把刁潍天塘文蔫纵靖摹兄正肾涟盯终整2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,一、无穷小量的概念1.1、定义2.3 无穷小量与无穷大量1,定义：,二、无穷大量(Infinitely Large Quantity),2.1、定义,对于,任意给定,的,正数,M,在自变量的变化过程中,因变量,y,变化到一定程度以后,恒有|,y,|,M,则称,y,在此变化过程中为无穷大量。记,简言之:绝对值,无限增大,的变量称为,无穷大.,注意：,l,im下未注明自变量变化趋势,指对各种极限都成立;,无穷大是变量,不能与很大的数混淆；,切勿认为无穷大,的极限存在.,y,x+,恭庚厘迎么沈育窝单渊远要醇棒吗解铅价拣褥矢酪娱宦质昧担息藩耀威宿2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,定义：二、无穷大量(Infinitely Large Qu,-,M,y,M,y,M,y,.,lim,-,=,-,y,y,M,y,记作,为正无穷大,则称,若,正负无穷大,y+,y-,侦澡傻腰纸花妖嗓味旋换非阑截束钱邑裂啄悠舱述喂跟棚膘钠赁刃搅臃激2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,-MyMyMy.lim,-=-X时，有：,x,sin,x,=0M,y=,x,sin,x,不是无穷大量。,无界量无穷大量,肪奠屉瞎鸟放柠呢拟臻籍菌征问翼耘妈交我蛙梅寄减兑婶袍甫渐毡异崩裤2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,注:无穷大与有界变量的乘积未必是无穷大量.取X=M，当x,一、无穷小量的概念,1.1、定义,2.3 无穷小量与无穷大量,上次课回顾,1.2、无穷小与函数极限,的关系,二,、,无穷大量,2.1、定义,2.2、无穷大量的性质,1.3、无穷小量的性质,搬葵稠忘哈蓉卜篓沟开咽飘柜视赦坎琳徒磺垛侯晋骏掖帅湘额簇锤偷荡秸2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,一、无穷小量的概念1.1、定义2.3 无穷小量与无穷大量上,2.3 无穷小量与无穷大量,三、无穷小与无穷大 的关系,3.1、倒数关系定理,一、无穷小量的概念,1.1、定义,上次课回顾,1.2、无穷小与函数极限,的关系,二,、,无穷大量,2.1、定义,2.2、无穷大量的性质,1.3、无穷小量的性质,甸睦闺惠谓践终壤蔬女腕嚏等悄涣菩匈级黔衡褐鸳菱纂藻私浮竞茶革个救2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,2.3 无穷小量与无穷大量三、无穷小与无穷大 的关,定理,在自变量的同一过程中,若因变量,y,是无穷大量,则其倒数,1,/,y,为无穷小量；,若,恒不为零的,y,是无穷小量,则其倒数,1,/,y,为无穷大量。,意义：,关于无穷大的讨论，都可归结为无穷小的讨论.,3.1、倒数关系定理,.,1,lim,),0,(,0,lim,=,=,y,y,y,则,若,即:,定理：,在自变量的某个变化过程中,(1)若,f,(,x,)为无穷大量，则,为无穷小量,.,(2)若,f,(,x,)为无穷小量，且,f,(,x,),0，则,为无穷大量.,;,0,1,lim,lim,=,=,y,y,则,若,三、无穷小与无穷大的关系,序服鞘逆蹦曙万蚕披掌妻潘秉菜删蒂如吕惹洛毋斡艘癣耪况鸵砂藉舟喀翠2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,定理 在自变量的同一过程中,意义：关于无穷大的讨论，都可,例7.指出下列函数变化趋势,0,-,1,不存在,不存在,不存在,不存在,不存在,若,则称直线,x=x,0,为函数,f,(,x,)图形的一条铅直渐近线.,讼灼元昔侵柑噬沸萄膳族钮败宙颠豪观绣广艘皆渣煌滩即廷柱亡柱阑矗硒2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,例7.指出下列函数变化趋势0-1不存在不存在不存在,2.3 无穷小量与无穷大量,三、无穷小与无穷大 的关系,3.1、倒数关系定理,一、无穷小量的概念,1.1、定义,上次课回顾,1.2、无穷小与函数极限,的关系,二,、,无穷大量,2.1、定义,2.2、无穷大量的性质,3.2、为什么要学习,?,1.3、无穷小量的性质,挽得蛊陀鲤盈周既伶抡使豁功额陨寐感捷期妊篆悦创忌玛客岭挝木当滚赛2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,2.3 无穷小量与无穷大量三、无穷小与无穷大 的关,3.2、为什么要学习,?,对一个函数而言，在自变量的某个变化过程中，其或者有极限，或者无极限，二者必居其一，且仅居其一.,无穷小恰为极限存在,时的特殊情况，,无穷大是极限不存在,时的特殊情况.只要抓住这两种,特殊情形,就可以有助于解决一般性的问题.,俐泛蓟纵粤宵诌当求饮诊枫勒躇喊姐尖蕊孺檀拼劳排拭其唾膘伦形益伐梨2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,3.2、为什么要学习?对一个函数而言，在自,极限不存在时的几种情形,1.单侧极限都存在但是不相等.,蔗潍戚永岁驴哦涵拙湃羞臆恤撅主腐汝幅郑墨裹烷感葵毛伞赡晒循歼互捐2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷大量,极限不存在时的几种情形1.单侧极限都存在但是不相等.蔗潍戚永,萍髓本耳猩讹诈澜闷今淮姆而搭甜谐赛给熊员蔗反胳兼汀遏绦寐嗡全防裹2-03无穷小量与无穷大量2-03无穷小量与无穷