,*,2010年春季数学学院邓传现,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量及分布函数,第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及分布函,1,则称 为,二维随机变量,或二维随机向量.,定义,设 为某随机试验的样本空间.如对每个样本点,有一对有序实数 与之对应，,3.1.1 二维随机变量,例一,考察成都的天气状况，令,例二,考察某原始森林里的某食物链，令,X,：老鼠的数量；,Y,：老鹰的数量,则 就是一个二维连续型随机变量.,：成都的温度；：成都的湿度,则 就是一个二维离散型随机变量.,则称 为二维随机变量或二维随机向量.定义,二维随机变量分布函数的定义及几何意义,表示随机变量,落在图中阴影区域中的概率,合分布函数,.,定义,设 为二维随机变量，定义,称 为 的,分布函数,，或为,X,与,Y,的,联,二维随机变量分布函数的定义及几何意义表示随机变量,3.1.2 二维离散型随机变量及联合分布律,二维离散型随机变量,可能取值最多有可列个的二维,率函数,或,联合分布律（联合分布）,.,且取这些值的概率为,定义,设二维离散型随机变量 可能的取值为,则称 为二维离散型随机变量 的,联合概,随机变量.,例如,某前面例二中的二维随机变量就是一个二维随,机变量.,3.1.2 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变,二维离散型,r.v.,的分布律常如下表格表示：,二维联合分布律的表示及性质,二维离散型随机变量 的分布律有性质为：,非负性,归一性,二维离散型r.v.的分布律常如下表,实例,抛 2枚质地均匀的硬币，,X,表出现正面的枚数与出,现背面的枚数之差的绝对值,Y,表正面出现的枚数.,解答,由题意知，,X,的可能取值为,0,2，,Y,的可能取值为,0,1,2，并且,求概率,求 的联合分布律；,为 的分布函数，求,实例 抛 2枚质地均匀的硬币，X 表出现正面的枚数与出,于是 的联合分布律为,于是 的联合分布律为,从而有,从而有,3.1.3 二维连续型随机变量及联合密度及性质,二维随机变量密度函数的性质,定义,设 为二维,r.v.,，若存在非负可积函数,使得对任意实数 ，有,归一性,非负性,则称 为二维连续型随机变量，为其联,合密度函数,，记为,3.1.3 二维连续型随机变量及联合密度及性质二维随机变量,定理,设 为二维连续型,r.v.,，为其密度函数，,为其分布函数.,连续，且在 的连续点 处有,对任意平面曲线 ，有,若 在平面集合 上可积，则,定理 设 为二维连续型 r.v,实例,设二维连续型,r.v.,的密度函数为,象限内的部分，如图.,其中 表示由曲线 和 所围区域在第一,求,求,求,实例 设二维连续型 r.v.,由密度函数的性质有,解答,显然，,由密度函数的性质有解答 显然，,关键：找出正,确的积分区域,关键：找出正,其中,G,为平面上的有界区域，为其面积.,二维均匀分布,定义,若二维连续型随机变量 的密度函数为,称 在 上服从,均匀分布,.,其中 G 为平面上的有界区域，为其面积.,解答,显然,上均匀分布，求关于 的方程,实例,若二维连续型随机变量 在区域,有实根的概率,解答 显然上均匀分布，求关于 的方程实例 若,有实根,故所求概率为,有实根故所求概率为,