,*,1,第三节 曲面及其方程,曲面方程的概念,小结 思考题 作业,(surface),旋转曲面,柱面,二次曲面,(surface of revolution),(cylindrical surface),(quadratic surface),第七章 空间解析几何与向量代数,1第三节 曲面及其方程曲面方程的概念小结 思考题,2,水桶的表面、,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,.,曲面方程的定义,曲面的实例,(1),曲面,S,上任一点的坐标都满足方程,;,(2),不,在曲面,S,上的点的坐标都,不,满足方程,;,如果曲面,S,有下述关系,:,那么,就叫做曲面,S,的方程,而曲面,S,就叫做方程的图形,.,曲面及其方程,一、曲面方程的概念,台灯的罩子面等,.,与三元方程,2水桶的表面、曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面,3,曲面的参数方程为,凡三元方程都表示空间一曲面,?,是一个三元方程,注,但不表示任何曲面,.,错,如,曲面及其方程,3 曲面的参数方程为凡三元方程都表示空间一曲面?是一个三元方,4,以下给出几例常见的曲面,.,解,所求方程为,球心在原点的球面方程,例,特殊,是球面上任一点,曲面及其方程,4以下给出几例常见的曲面.解所求方程为球心在原点的球面方程例,5,解,所求方程,是曲面上任一点,例,的全体所组成的曲面方程,.,曲面及其方程,5解所求方程是曲面上任一点,例的全体所组成的曲面方程.曲面及,6,研究空间曲面有,(1),已知曲面,(2),已知方程,两个基本问题,(,讨论旋转曲面,),(,讨论柱面,二次曲面,),求方程,;,研究图形,.,曲面及其方程,6 研究空间曲面有(1)已知曲面,(2)已知方程,两个基本问,7,二、旋转曲面,定义,绕其平面上的一条直线,这条定直线叫旋转曲面的,轴,.,此曲线称,称为,旋转曲面,.,旋转一周所成的曲面,母线,.,为方便,平面取作坐标面,旋转轴取,作坐标轴,.,曲面及其方程,(surface of revolution),常把曲线所在,以一条,平面曲线,母线,轴,7二、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的,8,旋转过程中的特征：,如图,将,得方程,代入,曲面及其方程,8旋转过程中的特征：如图将得方程代入曲面及其方程,9,旋转曲面方程,.,旋转一周的,即为,同理,旋转曲面方程,为,旋转一周的,绕,z,轴,绕,y,轴,曲面及其方程,9旋转曲面方程.旋转一周的即为同理,旋转曲面方程为旋转一周的,10,曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线,C,绕其上的,一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到,:,而用另两个的变量的平方和的平方根,(,加正、,负号,),替代曲线方程中另一个变量即可,.,曲面及其方程,10 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,11,解,圆锥面方程,所得旋转曲面称为,圆锥面,.,两直线的交点称为,圆锥面的,顶点,例,两直线的夹角,圆锥面的,半顶角,.,称为,试建立顶点在坐标原点,O,旋,半顶角为 的,圆锥面的方程,.,转轴为,z,轴,面上直线方程为,曲面及其方程,直线,L,绕另一条与,L,相交的直线旋转一周,11解 圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆,12,圆锥面方程,即,圆锥面方程,(,用得较多,),?,绕,y,轴,旋转所得曲面方程及图形,.,即,曲面及其方程,面上直线方程为,12圆锥面方程 即 圆锥面方程(用得较多)?绕y轴旋转,13,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程,.,旋转双曲面,例,双曲线,(1),分别绕,x,轴和,z,轴,;,绕,x,轴,旋转,绕,z,轴,旋转,曲面及其方程,13 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的,14,旋转椭球面,旋转抛物面,(2),绕,y,轴和,z,轴,;,(3),绕,z,轴,.,曲面及其方程,14旋转椭球面 旋转抛物面(2)绕y轴和z轴;(3)绕z轴.,15,选择题,B,方程,(,A,),xOz,平面,上曲线 绕,y,轴旋转所得曲面,;,(,B,),xOz,平面,上直线 绕,z,轴旋转所得曲面；,(,C,),yOz,平面,上直线 绕,y,轴旋转所得曲面；,(,D,),yOz,平面,上曲线 绕,x,轴旋转所得曲面,.,表示,().,曲面及其方程,15 选择题 B方程(A)xOz平面上曲线,16,定义,三、柱面,平行于定直线并沿定曲线,C,这条定曲线,C,称为柱面的,动直线,L,称为柱面的,准线,母线,.,曲面及其方程,(cylindrical surface),所形成的曲面称为,移动的直线,L,柱面,.,准线,母线,16定义三、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C 称为柱,17,因此,该方程的图形是以,xOy,面上圆为准线,例,讨论方程 的图形,.,在,xOy,面,上,解,现在,空间直角坐标系,中讨论问题,.,母线平行于,z,轴的,柱面,.,曲面及其方程,表一个,圆,C.,过点,作平行,z,轴的直线,L,设点,在圆,C,上,对任意,z,点,的坐标也满足方程,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线所形成的曲面上的点,的坐标,都满足此方程,在,空间,就是,圆柱面方程,.,此曲面称为,圆柱面,.,L,17因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,例,18,平面,表示母线平行于,z,表示母线平行于,z,轴,曲面及其方程,抛物柱面,柱面举例,其准线是,xOy,面,上的抛物线,轴的柱面,的柱面,其准线是,xOy,面上,的直线,18平面表示母线平行于z表示母线平行于z轴曲面及其方程抛物柱,19,从柱面方程看柱面的,特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆,柱面,双曲,柱面,抛物,柱面,直角坐标系中表示平行于,z,轴的柱面,在空间,为,xOy,面上的曲线,C,.,其准线,曲面及其方程,母线平行于,x,轴,母线平行于,z,轴,母线平行于,y,轴,19从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面双曲柱,20,四、二次曲面,1.,二次曲面的定义,即为二次曲面,.,相应地平面被称为,三元二次方程,所表示的曲面称为,其中,均为常数,.,球面、,二次曲面,.,如,:,双曲柱面等,),某些柱面,(,圆柱面、抛物柱面、,一次曲面,.,都是二次曲面,.,曲面及其方程,20四、二次曲面 1.二次曲面的定义即为二次曲面.相应地,21,现只研究几种常见的二次曲面的标准方程,.,或,称为,二次曲面,的标准方程,.,曲面及其方程,21现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.或称为二次曲面的标,22,研究的方法是采用,截痕法,.,以下用,截痕法,讨论上面几种特殊的二次曲面,.,从而了解曲面,即用坐标面和,平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线,(,即截痕,),的形状,然后加以综合,的全貌,.,曲面及其方程,22 研究的方法是采用截痕法.以下用,23,2.,椭球面,(,椭圆面,),(ellipsoid),曲面及其方程,由方程可知,即,这说明椭球面包含在由平面,围成的长方体内,.,232.椭球面(椭圆面)(ellipsoid)曲面及其方程,24,曲面及其方程,先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：,去截这个曲面,所得截痕的方程是,这些截痕都是,椭圆,.,再用平行于,xOy,面的平面,这些截痕也都是,椭圆,.,24曲面及其方程先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：去截这个曲面,25,椭圆截面的大小,随平面位置的变化而变化,.,曲面及其方程,与平面,椭圆,.,同理,的截痕也是,25椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.曲面及其方程与平面,26,椭球面的几种特殊情况,:,旋转,椭球面,由椭圆,旋转椭球面与椭球面的,区别,：,方程可写为,与平面,(ellipsoidal surface of revolution),绕,z,轴旋转而成,.,的交线为,圆,.,曲面及其方程,26椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆旋转椭球面与椭球面,27,球面,截面上圆的方程,方程可写为,spherical surface,曲面及其方程,27球面截面上圆的方程方程可写为spherical sur,28,3.,抛物面,（与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,用平面,设,原点叫做椭圆抛物面的,(paraboloid),elliptic(al)paraboloid,去截这曲面,顶点,.,(1),曲面及其方程,截痕为,原点,.,用平面,去截这曲面,截痕为,椭圆,.,截痕退缩为原点,;,截痕不存在,.,283.抛物面（与 同号）椭圆抛物面用截痕,29,用坐标面,截痕为,抛物线,.,(2),曲面及其方程,去截这曲面,用平面,它的轴平行于 轴,顶点,去截这曲面,截痕为,抛物线,.,29用坐标面截痕为抛物线.(2)曲面及其方程去截这曲面,用平,30,用坐标面,同理当,(3),时可类似讨论,.,曲面及其方程,去截这曲面,及平面,截痕为,抛物线,.,椭圆抛物面的图形如下：,30用坐标面同理当(3)时可类似讨论.曲面及其方程去截这曲面,31,旋转抛物面,(,由 面上的抛物线,用平面,当 变动时，这种圆的,中心,都在 轴上,.,paraboloid of revolution,特殊地,方程变为,而成的,),曲面及其方程,去截这曲面,截痕为,圆,.,绕,z,轴旋转,31旋转抛物面(由 面上的抛物线用平面当,32,（与 同号）,双曲抛物面,用截痕法讨论：,设,图形如下：,有两个异号的平方项,另一变量,方程,z,=,xy,表示什么曲面？,马鞍面,hyperbolic paraboloid,特点是,:,是一次项,无常数项,.,(,马鞍面,),曲面及其方程,32（与 同号）双曲抛物面用截痕法讨论：设图形,33,4.,双曲面,单叶双曲面,特点是,:,(hyperboloid),(uniparted hyperboloid),平方项有一个取负号,另两个取正号,.,曲面及其方程,炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是,单叶双曲面,的形状,.,334.双曲面单叶双曲面特点是:(hyperboloid),34,类似地,亦表示,?,想一想,单叶双曲面,单叶双曲面,.,方程,以上两方程的图形是与,此图形,一样吗,?,曲面及其方程,34类似地,亦表示?想一想单叶双曲面单叶双曲面.方程以上两方,35,双叶双曲面,或,特点是,:,平方项有一个取正号,另两个取负号,.,(biparted hyperboloid),它分成上、下两个曲面,.,注,曲面及其方程,35双叶双曲面 或 特点是:平方项有一个取正,36,类似地,或,亦表示,以上两方程的图形是与,此图形,双叶双曲面,或,?,方程,双叶双曲面,.,一样吗,曲面及其方程,36 类似地,或亦表示以上两方程的图形是与此图形双叶双曲面,37,方程,表示,(),(,A,),双曲柱面,;,(,D,),锥,面,.,(,C,),双叶双曲面,;,(,B,),旋转,双曲面,;,B,椭圆抛物面,双曲抛物面,(,马鞍面）,填空,设有曲面方程,则方程表示的曲面为,方程表示的曲面为,?,?,曲面及其方程,选择,37方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面,38,上海交大,填空,(90,级,),双叶双,曲面,它的对称轴在 轴上,.,y,上海交大,填空,(95,级,),椭圆锥,曲面及其方程,练习,38 上海交大,填空,(90级)双叶双曲面,它的对称,39,截痕法,;,(,熟知这几个常见曲面的特性,),椭球面、抛物面、双曲面,.,曲面方程的概念,旋转曲面的概念,(,轴、母线,),及求法,;,柱面的概念,(,母线、准线,);,曲面及其方程,五、小结,39截痕法;(熟知这几个常见曲面的特性)椭球面、抛物面、双,40,思考题,分别绕,y,轴和,z,轴旋转一周,写出所得旋转面的,方程,.,曲面及其方程,将,yOz,轴坐标面上的曲线,解,绕,y,轴旋转,.,或,绕,z,轴旋转,.,或,40思考题分别绕y轴和z轴旋转一周,写出所得旋转面的方程.曲,41,作业,习题,7-3(318,页,),3.5.6.7.8.(1)(3)(5)10.11.,曲面及其方程,41作业