单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,用因式分解法求解,一元二次方程,第二章 一元二次方程,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程.重点,2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.难点,学习目标,导入新课,问题：,请用两种不同方法解下面一元二次方程？,x,2,-,3,x,+2=0,配方法：把常数项移到方程的右边，得x2-3x=-2.,两边都加上 2，得x2-3x+2=2.,即x-2=.,两边开平方，得 x-=.,即 x-=，x-=.,所以x1=2，x2=1.,公式法：这里a=1，b=-3，c=2.,b2-4ac=-32-4120,x=,x1=2，x2=1.,因式分解法解一元二次方程,一,例,1,：,一个数的平方与这个数的,3,倍有可能相等吗？如果相等,这个数是几？你是怎样求出来的？,小颖,小明,小亮都设这个数为,x,根据题意得,可得方程,x,2,=3,x,由方程,x,2,=3,x,得,x,2,-,3,x,=0,因此,x,1,=0,x,2,=3,.,所以这个数是,0,或,3.,小颖的思路：,小明的思路：,方程,x,2,=3,x,两边,同时约去,x,得,x,=3,.,所以这个数是,3,.,讲授新课,小亮的思路：,由方程,x,2,=3,x,得,x,2,-,3,x,=0,即,x,(,x,-,3)=0,于是,x,=0,或,x,-,3=0,.,因此,x,1,=0,x,2,=3,所以这个数是,0,或,3,小亮想：,如果,a,b=,0,那么,a=0,或,b=0,问题：他们做得对吗？为什么？,当一元二次方程的一边是,0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解,.,这种用分解因式解一元二次方程的方法称为,因式分解法,.,1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零.,2.关键是熟练掌握分解因式的知识.,3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.,提示,例2：解以下方程：,15x2=4x;2x 2=x(x-2).,解：,5,x,2,-,4,x,=0,x,(5,x,-,4)=0,.,x,=0,或,5,x,4=0,.,x,1,=0,x,2,=,.,解：,(,x,-2),x,(,x,-2),=0,(,x,-2)(1-,x,)=0,.,x,2,=,0,或,1,x,=0,.,x,1,=2,x,2,=1,.,1对于一元二次方程x-px-q=0,那么它的两个实数根分,别为p，q.,2对于一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成x-p(x-q)=0的形式.,结论,拓展提升,解以下方程：,12x+32=4(2x+3);2(x-2)2=(2x+3)2.,解：2x+32 -4(2x+3)=0,(2x+3)(2x+3-4)=0,(2x+3)(2x-1)=0.,2x+3=0 或 2x-1=0.,解：x-22 -(2x+3)2=0,(x-2+2x+3)(x-2-2x-3)=0,(3x+1)(x+5)=0.,3x+1=0 或 x+5=0.,选用适当的方法解一元二次方程,二,例3：用适当的方法解方程：,13xx+5=5x+5；25x+12 =1；,分析：,该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快,.,解：,化简,(,3,x,-,5,)(,x,+5,)=0,.,即,3,x,-,5,=,0,或,x,+5,=0,.,分析：,方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法,.,解：,开平方,得,5,x,+1=1,.,解得,x,1,=,0,x,2,=,3x2 -12x=4 ;43x2=4x+1；,分析：,二次项的系数为,1,，可用配方法来解题较快,.,解：,配方,得,x,2,-,12,x,+6,2,=4+6,2,即,(,x,-,6),2,=40,.,开平方,得,解得,x,1,=,x,2,=,分析：,二次项的系数不为,1,，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法,.,解：,化为一般形式,3,x,2,-,4,x,+1=0,.,=,b,2,-,4,ac=,28 0,填一填：,各种一元二次方程的解法及适用类型,.,拓展提升,一元二次方程的解法,适用的方程类型,直接开平方法,配方法,公式法,因式分解,x2+px+q=0 p2-4q 0,(x+m)2nn 0,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0,b,2,-4,ac,0),(x+m)x+n0,1.快速说出以下方程的解,14x-1(5x+7)=0;x1=,x2=().,2(x-2)(x-3)=0;x1=,x2=().,32x+3(x-4)=0;x1=,x2=().,2.将下面一元二次方程补充完整.,12x-(x+3)=0;x1=,x2=-3.,2(x-)(3x-4)=0;x1=2 ,x2=.,33x+_(x+)=0;x1=,x2=-5.,5,1,2,-,1,5,当堂练习,3.用适当的方法解一元二次方程,15x2-x=3(x2+x);2(x-2)(x-3)=12.,解：整理,得,5xx-1-3 x(x +1)=0,即 x5x-5-3x-3)=0,化简 x(x-4)=0.,x=0 或 x-5=0.,x1 =0,x 2=5.,解：,整理,得,x,2,-,5,x,-,4,=0,，,这里,a,=1,，,b,=-5,，,c,=-4.,b,2,-4,ac,=,（,-6,）,2,-41,（,-4,）,0,x,=,x,1,=,，,x,2,=.,用因式分解法,解一元二次方程,步骤：,选用适当的方法解一元二次方程,.,1.,移项,.,2.,把方程的左边分解成两个一次因式的积,.,3.,令每个因式分别等于,0,得到两个一元二,次方程,.,4.,解这两个一元二次方程,.,课堂小结,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,3.,菱形的性质,1.,菱形的定义,菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直,2.,菱形的特征,菱形是一个轴对称图形,我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形除,此之外，还能找到其他的判定方法吗？,菱形的性质“两条对角线互相垂直平分中，“对角线,互相平分是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线,垂直是菱形所特有的性质。,由此，可以得到一个猜测：“如果一个平行四边形,的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱,形。,如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木,棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个,端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行,四边形假设转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两,个木棒之间的夹角等于90时，得到的图形是什么图形,呢？,如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形,和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形,由此可以得到判定菱形的一种方法：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,如图，平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,互相垂直，我们可以证明：四边形,ABCD,是菱形,证明,四边形,ABCD,是平行四边形,OA,OC,又,ACBD,BD,所在直线是线段,AC,的垂直平分线,AB,BC,四边形,ABCD,是菱形,例如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形,分析要证四边形AFCE是菱形，由条件可知EFAC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又EF垂直平分AC，所以只需证OEOF,证明,四边形,ABCD,是平行四边形,AEFC,1,2,EF,平分,AC,AO,OC,又,AOE,COF,90,AOECOF,EO,FO,四边形,AFCE,是平行四边形,又,EFAC,四边形,AFCE,是菱形,对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一条性质“四条边都相等，,你可能会想到：,如果一个四边形的四条边都相等，那它会不会一定是菱形？,试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立,由此我们得到了判定菱形的又一种方法：,四条边都相等的四边形是菱形,其实，这个结论同样是正确的这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的,菱形的判定方法,1.,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,3.,四条边都相等的四边形是菱形,2.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,1.以下条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是,.ACBD，AC与BD互相平分,.AB=BC=CD=DA,.AB=BC，AD=CD，且AC BD,.AB=CD，AD=BC，AC BD,O,A,D,C,B,C,2.:如图,在平行四边形ABCD中,AE平分BAD,与BC相交于点E,EF/AB,与AD相交于点F.,求证:四边形ABEF是菱形.,A,B,C,D,E,F,3.如图，在ABC,ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EFBC。,求证：四边形CDEF是菱形,O,1,2,A,C,B,D,E,F,：如图，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE.求证：四边形AECF是菱形.,A,D,C,B,F,E,O,体会,.,分享,你能说出这节课的心得和体会，让大家与你分享吗？,