单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,例题,2,例题,3,例题,4,例题,7,例题,5,例题,6,第二章 习题课,例题,1,例题2例题3例题4例题7例题5例题6第二章 习题课例题1,1,例1,试列出图中的边界条件。,M,F,y,x,l,h,/2,h,/2,q,(a),第二章 习题课,例1 试列出图中的边界条件。MFyxl h/2 h/2q(,2,解:,(,a,),在主要边界 应精确满足下列边界条件：,第二章 习题课,解:第二章 习题课,3,在小边界,x,=0,应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，,第二章 习题课,在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件,4,在小边界,x,=,l,，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。,第二章 习题课,在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的,5,(,b,)在主要边界,x=,0,b,，应精确满足下列边界条件：,F,O,x,y,q,h,(b),b,/2,b,/2,第二章 习题课,(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：F,6,在小边界,y,=0,，列出三个积分的边界条件，当板厚 时，,第二章 习题课,在小边界y=0，列出三个积分的边界条件，当板厚,7,注意在列力矩的条件时两边均是对原点,o,的力矩来计算的。,对于,y=h,的小边界可以不必校核。,第二章 习题课,第二章 习题课,8,例2,厚度 的悬臂梁，受一端的集中力,F,的作用。已求得其位移的解答是,试检查此组位移是否是图示问题的解答。,第二章 习题课,例2 厚度 的悬臂梁，受一端的集中力F的,9,h,/2,h,/2,A,x,y,l,F,O,第二章 习题课,h/2 h/2AxylFO第二章 习题课,10,解：,此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:,(1)区域内用位移表示的平衡微分方程,(书中式218）;,第二章 习题课,解：(1)区域内用位移表示的平衡微分方程第二章 习题课,11,（2）应力边界条件（书中式219），在,所有受面力的边界 上。其中在小边,界上可以应用圣维南原理，用三个积,分的边界条件来代替。,（3）位移边界条件（书中式214）。本,题在,x=l,的小边界上，已考虑利用圣,维南原理，使三个积分的应力边界条,件已经满足。,第二章 习题课,（2）应力边界条件（书中式219），在第二章 习题课,12,因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：,A点（,x=l,及,y,=0,），,读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。,第二章 习题课,因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：读者可校,13,例3,试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在,第二章 习题课,例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在第二章 习,14,解：,应变分量存在的必要条件是满足形变,相容条件，即,（a）相容；,（b）须满足,B,=0,2A=C,；,（c）不相容。只有,C,=0,，则,第二章 习题课,解：应变分量存在的必要条件是满足形变第二章 习题课,15,例4,在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：,第二章 习题课,例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存,16,解,：弹性体中的应力，在单连体中必须,满足：,（1）平衡微分方程；,（2）相容方程；,（3）应力边界条件（当 ）。,第二章 习题课,解：弹性体中的应力，在单连体中必须第二章 习题课,17,（,a,）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须,A=-F,D=-E,此外，还应满足应力边界条件。,（,b,）为了满足相容方程，其系数必须满足,A,+,B,=0。,为了满足平衡微分方程，其系数必须满足,A,=,B,=-,C,/2。,上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。,第二章 习题课,（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-,18,例5,若 是平面调和函数，即满足拉普,拉斯方程,试证明函数 都满足重调和方程，因 而都可以作为应力函数使用。,第二章 习题课,例5 若 是平面调和函数，即满足拉普第二章,19,解：,上述函数作为应力函数，均能满足相,容方程（重调和方程），,第二章 习题课,解：第二章 习题课,20,例6,图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，,(,a,),第二章 习题课,例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式,21,x,y,l,o,q,ql,h,/2,h,/2,第二章 习题课,xyloqql h/2 h/2第二章 习题课,22,解：,本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足,（1）平衡微分方程；,（2）相容方程 ;,（3）应力边界条件（在 上）。,将应力分量（,a,）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。,第二章 习题课,解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满,23,再校核边界条件，在主要边界上，,第二章 习题课,再校核边界条件，在主要边界上，第二章 习题课,24,第二章 习题课,第二章 习题课,25,再将式（,b,）表达式代入次要边界条件，,第二章 习题课,再将式（b）表达式代入次要边界条件，第二章 习题课,26,第二章 习题课,第二章 习题课,27,由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（,b,）是图示问题之解。,第二章 习题课,由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式,28,q,(,x,),x,y,l,o,h,/2,h,/2,例7,在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）,受任意的横向荷载,q,(,x,)作用而弯曲时，弯曲应力公式为,第二章 习题课,q(x)xylo h/2 h/2例7 在材料力学中，当矩形,29,（,a,）试由平衡微分方程（不计体力）导出,切应力 和挤压应力 的公式。,（提示：注意关系式,积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）,第二章 习题课,（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出 （提示：注意关,30,（,b,）当,q,为常数时，试检验应力分量是否,满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数,f,(,y,),，再由相容方程确定,f,(,y,),并校核梁的左右边界条件。,第二章 习题课,（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 第二章 习题课,31,解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足,（1）平衡微分方程；,（2）相容方程；,（3）应力边界条件（在 上）。,第二章 习题课,解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，,32,（,a,）不计体力，将 代入平衡微,分方程第一式，,得:,两边对,y,积分，得,第二章 习题课,（a）不计体力，将 代入平衡微两边对y积分,33,再由上下的边界条件,将 代入平衡微分方程的第二式,第二章 习题课,再由上下的边界条件将 代入平衡微分方程的第二式,第二章,34,对,y,积分，得,得,由上下的边界条件，,第二章 习题课,对y积分，得,35,由此得,上述解答 及式(,c,),(,d,)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。,第二章 习题课,由此得 上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分,36,（,b,）若,q,为,常数，则 ，得,代入相容方程，,为了满足相容方程，,第二章 习题课,（b）若q为常数，则 ，得第二章,37,此式 和式（,c,）、（,d,）的一组应力分,量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方,程，得,积分得,第二章 习题课,此式 和式（c）、（d）的一组应力分第二章,38,由次要边界条件,由此得,第二章 习题课,由次要边界条件由此得第二章 习题课,39,可检测，式（,c,）、（,d,）、（,e,）的一组应力已满足无体力，且,q,为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在,x=,0,l,小边界上的剪力即为 的主矢量 ），因而是该问题之解。,第二章 习题课,可检测，式（c）、（d）、（e）的一组应力已满足无,40,