单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4量纲分析建模法,在数学的应用中,需处理的往往不是“纯粹的”,数,而是反映事物某一特性的度量,.,用数加单位来表示具体度量；,用量纲的概念来表示被度量的特性,.,量纲分析法是一种有效的物理建模方法,一,.,单位,SI,国际单位制（米,千克,秒）；,fps,英制单位制（英尺,磅,秒）,一个模型中单位必须统一,二,.,量纲,时间,（,T,）,基本物理量,质量,（,M,）,长度,（,L,）,力学中，任何物理量,都可以表示为其组合形,式，,称这种组合形式为,物理量的量纲,.,称为,基本量纲,其中,质量,=m=M,长度,=l=L,时间,=t=T,例,4.1.1,加速度,=,a,=LT,2,;,因为力,F,=,ma,故,F,=,m,a,=MLT,2,;,部分物理常数也有量纲，如万有引力定律,中的引力常数,K,的量纲为,速度,=,v,=LT,1,;,部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如,角度,=LL,1,=L,0,尽管角度是无量纲量,但它有单位,(,弧度,).,量 纲 独 立 于 单 位,三,.,量纲齐次性,（,Dimensional Homogeneity,）,量纲齐次原则,:,任一有意义的物理方程必定是量纲一致的,即有,左边,=,右边,1.,对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验,.,2.,无量纲化方法减少参数个数,.,例,4.1.2,非线性震荡运动方程,模型中有参数,：,m,、,K,、,C,令,x,0,=,x,(0),w,0,=,v,0,=,x,0,w,0,根据量纲齐次性,有,w,0,=T,1,F,=MLT,2,K,=MT,2,C,=MT,1,.,引进无量纲量：,T=,w,0,t,X=,x,/,x,0,V=,v,/,v,0,特点？,代入原方程，有,=,X,AV+F,0,其中，因,v,0,=,x,0,w,0,w,0,=,原方程变形为,优点：,1.,减少了参数的个数；,2.,方程中的变量,X,、,V,、,T,都是无量纲量,.,量纲分析是,20,世纪初提出的在物理领域中,建立数学模型的一种方法,.,对所设问题有一定了解，在,实验和经验,的,基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之,间的关系,.,例,4.2.1,单摆运动,将质量为,m,的一个小球系在长度为,l,的线的,一端,稍偏离平衡位置后小球在重力,mg,的作用,下,(g,为重力加速度,),做往复摆动,.,忽略阻力,求摆动周期,t,的表达式,.,求解,考虑问题中出现的物理量,t,、,m,、,l,、,g,，,假设它们之间有关式,其中,1,2,3,是待定常数,是无量纲的,比例常数,.,上式的量纲表达式为,(1),将,t,=T,m=M,l,=L,g,=LT,2,代入得,(2),按照量纲齐次性,有,求解为,代入式,(1),得,续例,4.2.1,单摆运动的抽象,设变量关系为,f,(,t,，,m,，,l,，,g,)=0,，,(3),假设各变量间的关系如下：,(4),其中,y,1,y,4,是待定常数,是无量纲量,.,各变量的量纲用基本量纲表示如下,：,t,=L,0,M,0,T,1,m,=L,0,M,1,T,0,l,=L,1,M,0,T,0,g,=L,1,M,0,T,2,(4),式的量纲表达式为,根据量纲齐次性，有线性方程组成立,解得方程组的一个解为,代入,(4),式有,或者,(5),将,此例一般化有以下定理,Buckingham Pi,定理：,设有,m,个物理量,q,1,，,q,2,，,q,m,而,f,(,q,1,，,q,2,，,q,m,)=0 (6),是与量纲单位的选取无关的物理定律。,X,1,X,2,X,n,是,基本量纲,其中,nm,，,q,1,，,q,2,，,q,m,的,量纲可表为,矩阵,A=,a,i,j,nm,称为,量纲矩阵,.,若,A,的秩,Rank(A)=r,若齐次线性方程组,AY=,0(y,是,m,维向量,),的,m,r,个基本解为,：,y,s,=(,y,s1,y,s2,y,s,m,),T,s=1,2,m,r,为,m,r,个相互独立的无量纲量,且,F(,1,2,，,mr,)=0 (7),与,(6),式等价,其中,F,的形式未知,.,例,4.2.2,航船阻力,长度为,l,、,吃水深度,h,的船以速度,v,航行,若不,考虑风的影响,那么航船受到的阻力,f,除依赖船,的诸变量,l,h,v,以外,还与水的参数,密度,粘性系数,以及重力加速度,g,有关,.,下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量,之间的关系,.,1.,航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为,(,f,l,h,v,g,)=0 (8),2.,这是力学问题,基本量纲选为,L,、,M,、,T,各物理量的量纲表示为,3.,写出量纲矩阵,(f)(l)(h)(v)()()(g),方程有,m,r=7,3=4,个基本解,可取为,4.,求解齐次线性方程组,AY=0,因,Rank(A)=r=3,5.,给出,4,个相互独立的无量纲量,(9),式,(9),与,(,1,2,3,4,)=0,等价,是,未定的函数,.,两式表达了航船问题中各物,理量之间的全部关系,.,为得到阻力,f,的表达式，由式,(1),及式,(9),中,4,的式子可写出,f=l,2,v,2,(,1,2,3,),其中,表示一个未定函数,用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量,之间的关系，这个结果用通常的机理分析法,难以得到,虽然函数,的形式无从知道,但这个表达式,在物理模拟问题中仍有用途,.,例,4.2.3,物理模拟中的比例模型,利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航,船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力,量纲不变性,:,无量纲量在模型和原型中保持不变,模型中的各物理量：,原型中的各物理量：,有,当无量纲量,成立时,可得,原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他,有关量算出,.,应用量纲分析法建立数学模型应注意：,1.,正确确定模型中所含,物理量,主要靠经验和背景知识,没有一般的方法可以,保证得到的结果是正确或有效,.,2.,合理选择,基本量纲,3.,应根据特定的建模目的恰当地构造基本解,.,一般，在力学中选取,L,、,M,、,T,即可,热学问题,加上温度量纲,，,电学问题加上电量量纲,Q).,量纲分析建模方法有如下优缺点,:,1.,不需要专门的物理知识和高深的数学方法，,可以得到用其他复杂方法难以得到的结果,.,2.,可将无关的物理量去掉,.,3.,可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量,.,4,.,方法有局限性，,PI,定理中的等价方程,F()=0,仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量,.,5.,物理定律中常见的函数，如三角函数,sin(),指数函数,exp(),等是无量纲的,不可能用量纲分,析法得到,.,任何建模方法都有局限性,4.2.4,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射。初速,v,星球半径,r,表面重力加速度,g,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L,t,=,T,r,=,L,v,=,LT,-1,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的,量纲,用,参数,r,v,g,的组合,分别构造与,x,t,具有相同,量纲的,x,c,t,c,（,特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c,t,c,的不同构造,1,）令,的不同简化结果,为无量纲量,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,1,）,2,）,3,）的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,重要差别,考察无量纲量,在,1,）,2,）,3,）中能否忽略以,为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r,r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1)2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,作业：,P57,第,16,题（雨滴的落地速度计算）,