单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第6节正弦定理和余弦定理及其应用,第6节正弦定理和余弦定理及其应用,1.,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题,.,2.,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,.,考纲展示,2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几,知识梳理自测,考点专项突破,解题规范夯实,知识梳理自测考点专项突破解题规范夯实,知识梳理自测,把散落的知识连起来,【,教材导读,】,1.,已知,ABC,中的三边,如何判断三角形是锐角、钝角、直角三角形,?,提示,:,利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负,从而判断出三角形是锐角、钝角、直角三角形,.,2.,在三角形,ABC,中,“,AB,”,是,“,sin Asin B,”,的什么条件,?,“,AB,”,是,“,cos AB,”,是,“,sin Asin B,”,的充要条件,“,AB,”,是,“,cos Acos B,”,的充要条件,.,3.,在三角形,ABC,中,“,a,2,+b,2,c,2,”,是,“,ABC,为锐角三角形,”,的什么条件,?,提示,:,“,a,2,+b,2,c,2,”,是,“,ABC,为锐角三角形,”,的必要不充分条件,.,知识梳理自测,知识梳理,1.,正弦定理和余弦定理,2Rsin B,2Rsin C,sin B,知识梳理 1.正弦定理和余弦定理2Rsin B 2Rsin,2.,三角形常用面积公式,3.,解三角形在测量中的常见题型,(1),利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等,.,2.三角形常用面积公式3.解三角形在测量中的常见题型,(2),有关测量中的几个术语,仰角和俯角,:,与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫,目标视线在水平视线下方时叫,.,(,如图,(1),所示,),方位角,:,一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角,45,是指北偏东,45,即东北方向,.,坡角,:,坡面与水平面的夹角,.,仰角,俯角,坡比,:,坡面的铅直高度与水平宽度之比,即,i=tan(i,为坡比,为坡角,).(,如图,(2),所示,),(2)有关测量中的几个术语仰角俯角坡比:坡面的铅直高度与水,【,重要结论,】,在,ABC,中,常有以下结论,:,(1)A+B+C=.,(2),任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,.,(4)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.,(5)ABabsin Asin Bcos Asin B,则,AB;,在,ABC,的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素,;,在,ABC,中,若,b,2,+c,2,a,2,则此三角形是锐角三角形,.,5.导学号 94626155 下列说法正确的是.,错误,.,当已知三个角时不能求三边,.,错误,.,满足,b,2,+c,2,a,2,还可能满足,b,2,a,2,+c,2,或,c,2,a,2,+b,2,则三角形不是锐角三角形,.,答案,:,错误.当已知三个角时不能求三边.错误.满足b2+c2a,考点专项突破,在讲练中理解知识,考点一,正、余弦定理的应用,考查角度,1,:,利用正、余弦定理解三角形,考点专项突破,(2),设,ABC,的内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,且,a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则,c=,.,答案,:,(2)4,(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,反思归纳,利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数,.,反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所,考查角度,2:,与三角形面积有关的问题,(A)24 (B)16 (C)12 (D)8,考查角度2:与三角形面积有关的问题(A)24 (B)16,(2),(2017,潮州模拟,),在,ABC,中,角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,且,a,2,+b,2,-c,2,-ab=0.,若,ABC,的面积为,c,则,ab,的最小值为,(,),(A)24 (B)12 (C)6 (D)4,(2)(2017潮州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边,反思归纳,(2),与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化,得到两边乘积,再整体代入,.,反思归纳(2)与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进,考点二,利用正、余弦定理判定三角形的形状,【例,3】,导学号,94626157,在,ABC,中,a,b,c,分别为内角,A,B,C,的对边,且,2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.,(1),求角,A,的大小,;,考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状【例3】导学号,(2),若,sin B+sin C=,试判断,ABC,的形状,.,(2)若sin B+sin C=,试判断ABC的形状,反思归纳,判定三角形形状的两种常用途径,(1),通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断,.,(2),利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断,.,反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径,跟踪训练,1,:(1),导学号,49612120,在,ABC,中,内角,A,B,C,所对的边分别为,a,b,c,若,b=2ccos A,c=2bcos A,则,ABC,的形状为,(,),(A),直角三角形,(B),锐角三角形,(C),等边三角形,(D),等腰直角三角形,解析,:,(1),由正弦定理,得,sin B=2sin Ccos A,sin C=2sin Bcos A,即,sin(A+C)=2sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C,即,sin Acos C-cos Asin C=0,所以,sin(A-C)=0,A=C,同理可得,A=B,所以三角形为等边三角形,.,故选,C.,跟踪训练1:(1)导学号 49612120 在ABC中,(A),等边三角形,(B),直角三角形,(C),等腰三角形或直角三角形,(D),等腰直角三角形,(A)等边三角形,考点三,利用正、余弦定理解决实际问题,【,例,4】,导学号,94626158,(1),(2016,广州七区联考,),某观察站,C,与两灯塔,A,B,的距离分别为,300,米和,500,米,测得灯塔,A,在观察站,C,北偏东,30,处,灯塔,B,在观察站,C,南偏东,30,处,则两灯塔,A,B,间的距离为,.,解析,:,(1),由题意可知,如图,在,ABC,中,AC=300,米,BC=500,米,ACB=120,利用余弦定理可得,AB,2,=300,2,+500,2,-2300500cos 120,AB=700(,米,).,答案,:,(1)700,米,考点三 利用正、余弦定理解决实际问题【例4】导学号 946,(2),(2017,黑龙江双鸭山期末,),如图,跳伞塔,CD,高,4,在塔顶测得地面上两点,A,B,的俯角分别是,30,45,又测得,ADB=30,则,AB,两地的距离为,.,答案,:,(2)4,(2)(2017黑龙江双鸭山期末)如图,跳伞塔CD高4,在,反思归纳,利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤,(1),分析,理解题意,分清已知与未知,画出示意图,;,(2),建模,根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型,;,(3),求解,利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解,;,(4),检验,检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解,.,反思归纳 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤,跟踪训练,2,:(1),如图所示,位于,A,处的信息中心获悉,:,在其正东方向相距,40,海里的,B,处有一艘渔船遇险,在原地等待营救,.,信息中心立即把消息告知在其南偏西,30,、相距,20,海里的,C,处的乙船,现乙船朝北偏东,的方向即沿直线,CB,前往,B,处救援,则,cos,等于,(,),跟踪训练2:(1)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东,答案,:,(1)B,答案:(1)B,(2),某台风中心最大风力达到,12,级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断,.,某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成,45,角,树干也倾斜为与地面成,75,角,树干底部与树尖着地处相距,20,米,则折断点与树干底部的距离是,米,.,(2)某台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严,备选例题,【,例,1】,(2018,湖南十三校联考,),设,ABC,的内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,且满足,sin A+sin B=cos A-cos(-B),sin C.,(1),试判断,ABC,的形状,并说明理由,;,备选例题 【例1】(2018湖南十三校联考)设ABC,第6节-正弦定理和余弦定理及其应用ppt课件,【,例,2】,(2018,泉州检测,),ABC,的内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,且,cos A,cos C-cos(A+C)=sin,2,B.,(1),证明,:a,b,c,成等比数列,;,(1),证明,:,因为,cos A,cos C-cos(A+C)=sin,2,B,所以,cos A,cos C-(cos Acos C-sin Asin C)=sin,2,B,化简可得,sin Asin C=sin,2,B,由正弦定理得,b,2,=ac,故,a,b,c,成等比数列,.,【例2】(2018泉州检测)ABC的内角A,B,C的对,(2),若角,B,的平分线,BD,交,AC,于点,D,且,b=6,S,BAD,=2S,BCD,求,BD.,(2)若角B的平分线BD交AC于点D,且b=6,SBAD=,【,例,3】,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇在,A,处发现在北偏东,45,方向,相距,12 n mile,的,B,处水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时,10 n mile,的速度沿南偏东,75,方向前进,若侦察艇以每小时,14 n mile,的速度沿北偏东,45+,方向拦截蓝方的小艇,.,若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角,的正弦值,.,【例3】在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇在A处发现,第6节-正弦定理和余弦定理及其应用ppt课件,解题规范夯实,把典型问题的解决程序化,利用正、余弦定理解三角形,【,典例,】,(12,分,),(2017,全国,卷,),ABC,的内角,A,B,C,的对边分别为,a,b,c,已知,ABC,的面积为,.,(1),求,sin Bsin C;,解题规范夯实,(2),若,6cos Bcos C=1,a=3,求,ABC,的周长,.,(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长,答题模板,:,解三角形问题一般可以用以下几步解答,:,第一步,:,边角互化,利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,;,第二步,:,三角变换、化简、消元,从而向已知角,(,边,),转化,;,第三步,:,由值求角,(,边,),结合已知代入求值,;,第四步,:,反思回顾,查看关键点、易错点、公式是否有错误,检查确认答案,.,答题模板:解三角形问题一般可以用以下几步解答:,点击进入 应用能力提升,点击进入 应用能力提升,