单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第一讲 高等机构学的数学基础,1),图论的基本知识和排列组合的基本概念,2),矩阵变换与运算,3),求解非线性方程组,4),数值积分，常微分方程的数值解法,机构结构的综合,运动分析、动力分析、机构综合,机构运动分析和机构综合,机构的动力学,一、矢量运算,1,两个矢量的点积,定杆长约束方程,2,两矢量的叉积,3,矢量的常用运算,u,角速度矢量的瞬时方向,4,矢量微分,4,矢量的复数表示法,当用,n,+1,个分量表示,n,维空间的点的位置时，称为齐次坐标表示法,二、常用坐标变换,1,齐次坐标,在二维空间内，点,p,(,x,y,),的齐次坐标为,p,(,X,Y,w,),，在三维空间内，点,p,(,x,y,z,),的齐次坐标为,p,(,X,Y,Z,w,),。,在机构学中，常令,w,1,X,:,Y,:,Z,:,w,=,x,:,y,:,z,:1,x,=,X,/,w,y,=,Y,/,w,z,=,Z,/,w,2,坐标变换,坐标平移变换,绕坐标轴的旋转变换,坐标旋转变换,绕,z,轴的旋转变换,r,i,=,R,ij,z,r,j,绕,y,轴的旋转变换,r,i,=,R,ij,y,r,j,绕,x,轴的旋转变换,r,i,=,R,ij,x,r,j,此方阵可分为四部分,总结,左下角部分产生透视变换；,左上角部分产生三维比例、对称、错切、和旋转变换。,右,上角部分产生平移变换；,右下角部分产生全比例变换。,绕,z,轴与,x,轴的旋转变换,r,i,=,R,ik,z,r,k,r,k,=,R,kj,x,r,j,r,i,=,R,ik,z,R,kj,x,r,j,=,R,ij,zx,r,j,绕,z,轴转,、绕,x,轴转,绕,z,轴、,y,轴、,x,轴的旋转变换,r,i,=,R,ik,z,r,k,r,k,=,R,kl,y,r,l,r,i,=,R,ik,z,R,kl,y,R,lj,x,r,j,=,R,ij,zyx,r,j,r,l,=,R,lj,x,r,j,绕空间任意轴,u,的旋转变换,u,轴绕,y,轴顺时针转,-,，到达,u,u,轴绕,z,轴逆时针转,u,轴绕,x,轴顺时针转,-,，返回,u,u,轴绕,x,轴逆时针转,，到达,u,u,轴绕,y,轴逆时针转,，返回,u,R,u,=,R,-,y,R,x,R,z,R,-,x,R,y,R,-1,=,R,-T,R,为正交矩阵,空间不共原点的坐标变换,不共原点的坐标变换是指坐标系的移动和旋转变换的合成结果,坐标原点由,O,i,移动到,O,j,，然后以,O,j,为共原点发生旋转变化，如图,x,j,y,j,z,j,x,i,cos(,x,i,x,j,),cos(,x,i,y,j,),cos(,x,i,z,j,),y,i,cos(y,i,x,j,),cos(,y,i,y,j,),cos(,y,i,z,j,),z,i,cos(,z,i,x,j,),cos(,z,i,y,j,),cos(,z,i,z,j,),x,i,x,j,、,x,i,y,j,等为轴间角,哈登伯格,迪纳维特矩阵,(HadenbergDenavit Matrix),坐标系,中的,x,j,，沿着,z,j,和坐标系,中,z,i,轴的公垂线方向,设,z,i,和,z,j,的公垂线,距离为,a,1,，,x,i,和,x,j,之间,线,距离为,s,1,r,i,=,R,ij,r,j,沿,x,j,方向移动,a,1,，,O,i,到达,O,j,绕,x,j,轴转,，到达,沿,z,i,平移,s,1,，到达,绕,z,i,轴转,，,x,i,与,x,j,重合,三、常用矩阵运算,1,刚体位移矩阵,平面刚体位移矩阵,1,）平面刚体位移矩阵,刚体平面运动的简要表达方式：,2,）空间刚体位移矩阵,用,R,ij,zyx,或,R,u,代替刚体平面运动的,R,3,）螺旋位移矩阵,刚体由位置,E,1,运动到,E,j,位置，可用刚体上的标线,p,1,q,1,和,p,j,q,j,表示该刚体的运动。其运动过程有,3,种描述方法：,螺旋运动：,是一种螺旋运动。螺旋运动是描述刚体运动的最简单的运动方式。,p,1,q,1,平动到,p,j,q,j,，然后绕过,p,j,的某个,u,轴转,1,j,，,到达,p,j,q,j,。,过,p,1,作,u,轴的垂线，距离为,s,n,，设,u,轴上距离,np,j,=,s,，这样，刚体由,E,1,运动到,E,j,可看作,E,1,沿,u,轴垂线方向移动,s,n,，再沿,u,轴平移,s,，再绕,u,轴转,1,j,，可到达,p,j,q,j,。,若作,p,1,n,的中垂线得一轴,s,u,，仍平行,u,轴。这时，刚体由,E,1,运动到,E,j,可看做,E,1,绕,s,u,轴的转动和沿,s,u,轴的移动的合成。,有限螺旋位移矩阵,若把刚体,E,扩大，使之与螺旋轴,s,u,相交，交点为,p,1,，表示刚体,E,1,的标线为,p,1,q,1,。把螺旋轴仍记为,u,轴。,螺旋矩阵,数值位移矩阵,螺旋矩阵可以方便地描述刚体的空间运动，但是，工程中给出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，而是给出刚体上不共面的几个点的直角坐标值。,不能直接运用刚体螺旋矩阵进行具体的设计或分析。,可对给定刚体上点的坐标值进行数据处理，构成与,R,u,等阶的数值位移矩阵,D,。,根据数值位移矩阵中的已知元素，求出螺旋矩阵中的运动参数，即求出,，,u,x,，,u,y,，,u,z,，,p,1,x,，,p,1,y,，,p,1,z,等参数。,设刚体,E,在坐标系,中作有限位移运动，刚体上不共面的四个点,A,、,B,、,C,、,D,可决定刚体在空间的位置。,D,12,为刚体由位置,1,到位置,2,的位移矩阵。,由数值位移矩阵求解螺旋矩阵,求螺旋角,：,求,u,x,u,y,u,z,：,求线位移,s,及,p,1,点坐标：设,p,1,x,=0,2,旋转矩阵及其微分,1,）角速度矩阵,2D,空间：,3D,空间：,2,）角加速度矩阵,2D,空间：,3D,空间：,3,）微分位移矩阵,设刚体,2,点,p,、,q,:,速度矩阵,加速度矩阵,四、非线性方程组的数值解法,1,Newton-Raphson,法,的基本原理,准确法、数值迭代法、消元法、渐进法,非线性方程组的基本形式为,设该方程组的待求根为,设方程组初值为,把方程组在,x,k,处按,Taylor,级数展开，并略去二阶偏导数及以后各项，有,=0,令,J,Jacbian,矩阵,残量均方根收敛准则：,五、常微分方程组的数值解法,见,CAD,课件,