数学期望,电子科技大学,4.1,数学期望,定义,4.1.1,设,X,是离散型随机变量,其分布律为,引 例,一,.,随机变量的数学期望,设连续型随机变量,X,的概率密度为,f,(,x,),注,2,部分随机变量,X,的数学期望不存在,.,为,X,的,数学期望,(,均值,).,注,1,随机变量的数学期望是它所有可能取值的加权平均值，,是一个数,.,定义中要求条件无穷级数,绝对收敛,保证,数学期望有唯一的数值,.,同样,对连续型随机变量的无穷广义积分要求绝对收敛也出于相同的考虑。,如果绝对收敛不能得到满足,称随机变量的数学期望不存在,.,P101,例,4.1.2,，,例,4.1.4,证 明,证 明,4,.,两点分布,1,p,1,p,P,0,X,E,(,X,)=,p,5.,均匀分布,E,(,X,)=(,b,+,a,)/2,1,.XP,(,l,),则,E,(,X,)=,l,;,证 明,2,.XB,(,n,p,),则,E,(,X,)=,np,;,3,.XN,(,m,s,2,),则,E,(,X,)=,m,;,6.,指数分布,二,.,随机变量的函数的数学期望,设,X,是随机变量,Y=g,(,X,),也是随机变量,如何计算,E,g,(,X,),？,思路,先确定,g,(,X,),的分布,E,g,(,X,)=?,证 明,定理,4.1.1,*,设,Y,是随机变量,X,的函数,Y=g,(,X,),g,(,x,),为连续函数,1),X,是离散型随机变量，分布律为,本章核心定理,例,4.1.1,例,4.1.2,思考,如何将定理推广到二维甚至更多维的情况？,例,4.1.3,2),X,是连续型随机变量,其概率密度为,f,X,(,x,).,定理,4.1.2,.,设,(,X,Y,),是二维随机变量,如果,Z,=,G,(,X,Y,),也是同类型随机变量并且数学期望存在,则有,(1),当,(,X,Y,),是离散型随机变量时,(2),当,(,X,Y,),是连续型随机变量时,例,4.1.5,例,4.1.6,例,4.1.4,练习,解 答,三,.,随机变量的数学期望的性质,设,X,X,1,X,2,X,n,是随机变量,，,c,b,是常数,1,）,E,(,c,)=,c,;,2,）,E,(,c X,)=,cE,(,X,);,1),与,2,）,E,(,c X,+,b,)=,cE,(,X,)+,b.,证 明,4,）,若,X,1,X,2,.,X,n,相互独立,，则,例,4.1.7,例,4.1.8,例,4.1.9,一个庄家在一个签袋中放有,8,个白、,8,个黑的围棋子,.,规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后一个从袋中摸出五个棋子，按下面“摸子中彩表”给“彩金”,.,摸到,五个白,四个白,三个白,其它,彩金,2,元,2,角,5,分,共乐一次,Ex.,摸彩赌博,问题,庄家付出的彩金,Y,的分布律为,Y,0,0.05,0.2,2,P,Y,=,y,i,0.5001,0.3589,0.1282,0.0128,假设进行了,100,人次的赌博,则他可能需付出,的彩金为,:,00.5001100+0.050.3589100,+0.20.1282100+20.0128100,=1.7945+2.564+2.56=6.9185(,元,),平均每人次付出的彩金为,0.06919(,元,)=00.5001+0.050.3589+0.20.1282+20.0128,是随机变量的所有可能取值按概率大小的加权平均值,.,加权平均,(0+0.05+0.2+2)/4=0.5625(,元,),与彩金的算术平均,比较，哪个更合理？,1,.XP,(,l,),则,E,(,X,)=,l,;,2,.XB,(,n,p,),则,E,(,X,)=,np,;,可利用二项分布的可加性证明，见例,4.1.12,3,.XN,(,m,s,2,),则,E,(,X,)=,m,;,位置参数,6,指数分布,例,4.1.1,设随机变量,X,的数学期望存在,.,证明,:,E,X,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,),E,(,X,),2,例,4.1.2,设球的直径,X,U(,a,b,),求球的体积的数学期望,E,(,X,).,解,体积,V,=(,p,/6),X,3,可得,另解,例,4.1.3,过半径为,R,的圆周上的已知点,与圆周上的任意点相连,求这样得到的弦的平均长度,.,解,以已知点为原点,过已知点的直径为,x,轴正向,如图所示,.,设弦与直径的夹角为,则,均匀分布于区间,o,x,2,R,设弦长为,L,则有,L,=2,R,cos,所以,平均弦长为,由于,因此,总结,若先求出,L,的概率密度,再计算数学期望,将是很繁杂的过程,.,例,4.1.4,设随机变量,X,Y,相互独立,且,P,X,=,x,i,=,p,i.,i=,1,2,P,Y,=,y,j,=,p,.j,j=,1,2,E,(,X,),E,(,Y,),存在,求,E,(,XY,),例,4.1.5,设随机变量,(,X,Y,),在以,(0,1),，,(1,0),，,(1,1),为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试,求,E,(,X+Y,),和,E,(,X+Y,),2,.,解,1,1,0,(1,1),G,例,4.1.6,设随机变量,(,X,Y,),三角形区域,D,=0,x,1,x y 0.,求射击次数,X,的数学期望,.,的分布律为,分析,用数学期望和的性质进行求解,.,1,2,k,i-,1,i,X,i,表示第,i,1,次命中以后,到第,i,次命中的射击次数,则,X,=,X,1,+X,2,+.+X,k,X,i,的分布律为,X,i,1,2,.,m,P,X,i,=m,p,(1,-p,),p,.,(1,-p,),m,-1,p,