单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,优秀课件，精彩无限！,*,第十七章 隐函数存在定理,前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。,本章：存在性问题及连续性、可微性。,1,优秀课件，精彩无限！,第十七章 隐函数存在定理 前面关于隐函数（组）的微分法都假,1,单个方程的情况,曲面,与,面的交线,唯一确定隐,函数,曲面,必须与,相交,（,1,）连续,（,1,）连续曲线存在,使,（,2,）可微,（,2,）存在切线,交线,2,优秀课件，精彩无限！,1 单个方程的情况曲面与面的交线唯一确定隐曲面必须与相,曲面,在,点有切平面且切平面的法线不平行于,轴（即切平面不是,平面）,切平面的法向量为,与,不共线,（即,不能同时为零）,交线 存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求,3,优秀课件，精彩无限！,曲面 在点有切平面且切平面的法线不平行于轴（即切平面不是平面,定理,17.1,：设,满足下列条件：,在,D,：,，,上连续,（,3,）,（,1,）,（,2,）,4,优秀课件，精彩无限！,定理17.1：设满足下列条件：在 D：，上连续（3）（1）,则,使得在,点的某一邻域内，方程,唯一地确定一个定义在区间,内的隐函数,，定义在,内满足,且,（,2,）,在,上连续,在,有连续的导数，且,（,3,）,（,1,）存在,5,优秀课件，精彩无限！,则使得在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函,条件（,1,）,在,D,连续,条件（,3,）不妨设,对每个,关于,严格单调上升,特别,固定,严格单调上升,又,，所以,要证,（,1,）,：,有任意,使,在,D,（不妨设），,证明：,6,优秀课件，精彩无限！,条件（1）在D连续条件（3）不妨设对每个关于严格单调上升,特,取,故对任意,，,关于,连续且,唯一,7,优秀课件，精彩无限！,取故对任意 ，关于连续且 唯一7优秀课件，精彩无限！,则,：（,1,）存在,使得在,点的某一邻域内，方程,唯一地确定一个定义在区间,内的隐函数,，定义在,内满足,且,（,2,）,在,上连续,(,证明略,),在,有连续的导数，且,（,3,）,(,证明略,),可将条件（,3,）改为,，结论应改为？,8,优秀课件，精彩无限！,则：（1）存在使得在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个定义在,例,1,方程,能否在原点的某邻域内确定隐函数,或,？,9,优秀课件，精彩无限！,例1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？9优秀课件，精,解：令,则,，,他们都在全平面上连续，而,故方程在,点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数,它定义在,，使得,，,但由于,，据此无法断定是否在,点的某邻域内,存在。,，,，,。,有隐函数,10,优秀课件，精彩无限！,解：令则，他们都在全平面上连续，而故方程在点的邻域内可唯,例,2,。由,知,当,，,确定可微的隐函数,上任何,在这个邻域内可唯一,11,优秀课件，精彩无限！,例2。由知,当，确定可微的隐函数上任何在这个邻域内可唯,定理,17.2,满足下列条件：,，,（,ii,）,；,(iii),则,（,i,）偏导数,设函数,.,12,优秀课件，精彩无限！,定理17.2满足下列条件：，（ii）；(iii),存在,的一个邻域,，使得在,点的某邻域内，方程,唯一地确定了一个定义在,的,元隐函数,，满足,。换句话说，存在函数,，使得当,时,；,且,；,13,优秀课件，精彩无限！,存在的一个邻域，使得在点的某邻域内，方程唯一地确定了一个定义,（,2,）,内连续；,内有连续的偏导数，且,，,.,（,3,）,14,优秀课件，精彩无限！,（2）内连续；内有连续的偏导数，且，.（3）14优秀,例,3,设,问方程是否在原点,地确定可微函数,，其中,属于,某个领域，使得,.,如可能，求,的某邻域唯一,点的,解：令,.,显然,的偏导数，且,由,，,知，存在,，使得在,有唯一的可微函数,，满足：,在全平面有连续,15,优秀课件，精彩无限！,例3 设,问方程是否在原点地确定可微函数，其中属于某个,，,.,且,16,优秀课件，精彩无限！,，.且16优秀课件，精彩无限！,第,2,节 方程组的情况,问题：,由,能否唯一确定,17,优秀课件，精彩无限！,第2节 方程组的情况问题：由 能否唯一确定17优秀课件，,定理,17.3,的某个领域,元有一阶连续偏导数；,（初始条件）；,则,(ii),(i),在点,(iii),设函数,满足：,内,F,，,G,对各变,.,18,优秀课件，精彩无限！,定理17.3的某个领域元有一阶连续偏导数；（初始,(1),在,点的某个邻域,内，方程组,唯一地确定一组函数,，它们定义在,的某邻域,D,内，当,满足,，,，且,；,(1),，,19,优秀课件，精彩无限！,(1)在点的某个邻域内，方程组唯一地确定一组函数，它们定义,(2),(3),，,且,，,20,优秀课件，精彩无限！,(2)(3)，且，20优秀课件，精彩无限！,注：条件,(iii),在定理中的地位和作用与,定理,17.1,中的条件,的地位和作用相当，它对于隐函数组的存在性、,连续性和可微性都是重要的。另外，结论,(3),中公式的推导方法,就是我们在第十六章第,2,节中介绍的隐函数组求导法，因此公式,不必死,2,记硬背，重要的是掌握求导方法。,21,优秀课件，精彩无限！,注：条件(iii)在定理中的地位和作用与定理17.1中的条件,例,1.,设有方程组,讨论在,的某邻域能否确定隐函数组,.,又问在,点的某邻域能否确定函,对确定的函数组求其偏导数。,数组,22,优秀课件，精彩无限！,例1.设有方程组讨论在的某邻域能否确定隐函数组.又问在点的,解,:,显然,F,，,G,在全平面上有连续的偏导数。又,，,，,，,23,优秀课件，精彩无限！,解:显然F，G在全平面上有连续的偏导数。又，23优,因此在,，但在,点的附近难言是否可唯一确定,.,求函数,点的某邻域方程组可以唯一地确定一组可微函数,函数组,和,数，在方程组两边对,的偏导,求偏导数，得,:,.,在方程组两边对,求偏导数得,:,解得,24,优秀课件，精彩无限！,因此在，但在点的附近难言是否可唯一确定.求函数点的某邻域,定理,17.4,设函数组,(6),满足：,的某邻域,D,内对,有连续偏导数；,，,(iii),.,解得,:,(i),在,(ii),；,25,优秀课件，精彩无限！,定理17.4 设函数组,则在,的某邻域,内存在唯一的一组反函数,使得,，,，且当,(1),有,，,.,，,，,其中,.,26,优秀课件，精彩无限！,则在的某邻域内存在唯一的一组反函数使得，且当 (1,推论,1,在定理,17.4,的条件下有,27,优秀课件，精彩无限！,推论1 在定理17.4的条件下有27优秀课件，精彩无限！,例,2.,极坐标与直角坐标的变换为,因为,所以除,即坐标原点,，,外，变换的逆变换存在，,即有,28,优秀课件，精彩无限！,例2.极坐标与直角坐标的变换为因为所以除即坐标原点，外,内容小结,隐函数存在性定理,隐函数的连续性,隐函数的可微性,隐函数的求导方法,29,优秀课件，精彩无限！,内容小结隐函数存在性定理 29优秀课件，精彩无限！,习题,1,、设函数,在点,(,u,v,),的某一,邻域内有连续的偏导数,且,在与点,(,u,v,),对应的点,唯一确定一组单值、连续且具有,证明,:,函数组,(,x,y,),的某一邻域内,连续偏导数的反函数,30,优秀课件，精彩无限！,习题1、设函数在点(u,v)的某一邻域内有连续的偏导数,且,解,:,则有,由,定理,可知结论 成立,式两边对,x,求导,得,2),求反函数的偏导数,.,31,优秀课件，精彩无限！,解:,则有由定理可知结论 成立式两边对 x 求导,得2),从方程组,解得,同理,式两边对,y,求导,可得,32,优秀课件，精彩无限！,从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得32优秀课,2,、,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解,:,令,则,连续；,由定理可知,在,x=,0,的某邻域内方程存在单值可,导的隐函数,33,优秀课件，精彩无限！,2、验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解,、试讨论方程组,在点,的附近能否确定形如,的隐函数,、求下列函数组的反函数组的偏导数；,34,优秀课件，精彩无限！,、试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数、求下列函,补充题,分别由下列两式确定,:,又函数,有连续的一阶偏导数,1.,设,解,:,两个隐函数方程两边对,x,求导,得,(2001,考研,),解得,因此,35,优秀课件，精彩无限！,补充题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.,2.,设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法,1,分别在各方程两端对,x,求导,得,(99,考研,),36,优秀课件，精彩无限！,2.设是由方程和所确定的函数,求解法1 分别在各方,作业,P231,页，,2,，,3,，,5,P239,页，,3,，,6,，,7,，,8,，,11,37,优秀课件，精彩无限！,作业P231页，2，3，537优秀课件，精彩无限！,