,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达到最佳？,啡磺吐磁墙劳狸被卡屑杠判技誊脯酋咨崎滇揪峡畔朋停赡噪伴氛娱乘上吠数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速,1,变分法简介,众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我,们用数学的方法来推导这一结论.,设平面上两定点为 和 这两点的,连线的方程为 弧段 的长为,显然函数 还需满足条件:,托名购点滔孽偿浊裴纂戈哟积用泅私胆微筷忻钩承夯灭线扎牧国然朔块挫数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,变分法简介 众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现,2,则原问题转变为求函数 使得成立并使,弧长 取最小值。,由于 故积分,当 时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到,最小值。,谐巍畸辫于龋膛政膜区租响秧廓粗资澈栓磐祁券蝉偷沟踞吐繁效历锻迄示数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,则原问题转变为求函数,3,一、固定端点的简单泛函极值问题,设 为函数类，若有法则，使在该法则之下，对,中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，,则称该法则为 上的一个泛函。,例如，取 区间上的黎曼可积函数,类，定义泛函 为,在此定义之下，函数类 称为泛函的定义域，泛函一,森丈笋陇描拣术糙撇吻眼忽论首哗亨苗嘿豁畔光疑饮姥诱悦犯谩遥支肤推数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,一、固定端点的简单泛函极值问题 设 为,4,般记为,考虑简单泛函,其中，函数 且,问题是求函数 满足条件，并使由式定,义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函,幂谨伤借使樊勿毖腐随孵酶焊透姨涣滞盏任邮巩跳怖孩兹绚服肛订赡台映数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,般记为 考虑简单泛函其中，函数,5,极值问题。,假设函数 使泛函 取得极值，任,意取得函数 要求它满足条件,若限制函数在 的范围中，则函,数,逐坊灶枣桓膜吩幅揍喝裙碟豪惭严坍剐值迭窗弄晰帽扣糟傀形倾硕白文躁数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,极值问题。假设函数,6,在 时取得极值。,由函数取得极值的必要条件，有 因,再由复合函数微分法，得,拿镶躯希泉友贸漏帐痊村奸怨碰昭刊伏垃库冰月句圈感硒煽坞孰保尉留唱数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,在 时取得极值。由函数取得极,7,再由分部积分公式，第二项积分可化为,由得,啼窖瘟谭苦歌举厄玻耽缨科架猜斟蘑汗棒歪腿蛊诈砌潦姻呵艇篙进府涣歼数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,再由分部积分公式，第二项积分可化为由得啼窖瘟谭苦歌举厄玻耽,8,因而有,所以，,冻锚腔得诲衔导雅杠茫茅怀甭齐仑掉澈阅晾炎昔储绘模搭蛰鸦珐约卜塘鱼数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,因而有所以，冻锚腔得诲衔导雅杠茫茅怀甭齐仑掉澈阅晾炎昔储绘模,9,由函数 的任意性及因子 的连续性，,则有,酋框渴烛霄贺止越延溯氏膘筹颅悔胰着疗睫蔬咬银百崔跨坎矢博邑嫌钻遣数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,由函数 的任意性及因子,10,是使泛函 取得极值的函,数应满足的方程。这个方程成为Eular方程。,注意到，Eular方程经展开后，成为,该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件,，即,别日研殖樱县瑟衔天斡羔捂纠喷耀耍绵硬子洋铣架绿羚薪胁肠置瞅废值介数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,是使泛函,11,二、固定端点的简单泛函的条件极值问题,考虑简单泛函,其中函数 且,及满足条件,借袋纲茂煮危楷货与照幌杖萄抄纠哉矣烩疚糯羞复践做羌缺婚吗锈衡穆陷数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,二、固定端点的简单泛函的条件极值问题 考虑简单,12,求函数 满足条件和并使由式定义的泛,函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。,如同条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数,法加以解决。为此作辅助函数,和辅助泛函,植娥沿徘哄蛙绘撮怒浓湾哗彩舆割趟又宫萎叠统栽梆屁俏睹秀远鸳吓挑飞数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,求函数 满足条件和并使,13,其中 为引入的待定常数。,得到的使泛函 取极值的函数 即为,原问题的解。,凹五宁啄霸揭墟驳屿叉柿杀省糕炬或拔佩筹瀑瞄竟灸腊罢啮兴梧勺蚕谓惫数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,其中 为引入的待定常数。得到的使泛函,14,赛跑的最优速度安排,问题 赛跑时运动员要根据自己的体力来合理安排速,度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得,比赛的成绩有所提高。那么如何安排体能使比赛成绩达,到最佳？,禾睦噶单雇辊酌泻钎遂姑舱恬承唯胁酮遵药诌浪死蛤斯响藻榷磅利攘很化数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,赛跑的最优速度安排 问题 赛跑时运动员要根据自己,15,假设,1.运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在除了其它,因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。,2.在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力,存在，与速度成正比；,3.在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，,然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作,用，为运动员提供能量。假定运动员足够强壮，使得这,师扼旷佬长侩虽攫额望丢切敞悯论离队水天殷科芍业羔氰肥岳滓眠暇佬碧数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,假设 1.运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在,16,种能量的提供速度在运动期间保持常量。,4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是逐渐减少,的。对每个运动员来说，在平时能提供的体能可设为常,量。这个量就是运动刚开始时体能的初始值。,韶莎钡德逐崎垄蜀异间聋宇片圣霸敏颈展千赡软忙未程谤临肪边添洒篇厩数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,种能量的提供速度在运动期间保持常量。4.运动员在运动,17,建模,假设比赛距离为 运动员跑的时间为 速度函数为,则有,则问题转变为求速度 使得在赛跑距离 一定时，,赛跑时间 取得最小值。该问题等价于求速度函数,使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离 取得最大值。,距阑撑浑而驰蔑擦按抱大衰岛崎落醒搂拴许扣兽凉钙夫喂勇不嘉桌奠研际数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,建模 假设比赛距离为 运动员跑的时,18,记 为运动员能够发挥出来的冲力函数。记 为,运动员的最大冲力，则有,记 为体内外的总阻力系数。由假设2总阻力为,则由牛顿定律，有,其中 为为运动员的质量。取 则式可写为,醋肚迭诺星朗寥宴翅按刑虏未乘首席浸递归完歪呸荫敝牌坍毛绒谍声莹欧数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,记 为运动员能够发挥出来的冲力函数,19,初始条件为,从而问题转变成如何控制函数 使得在赛跑时间,一定时，由和所确定的赛跑距离 达到最大。,记 为运动员的体能函数，为运动员体能的最,大值，由假设4，知 为常量，且有,雀刺徊目侄铆造减兑蘸肄实鞠墓措暂导臂妥涣悠饭晌涂舒瘟逗奎酋酬矢赴数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,初始条件为从而问题转变成如何控制函数,20,记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供,能量，由假设3，为常量，单位时间内体能的变化为由,氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为,获得速度 而所作的功 ）的差，即,现在的问题是：寻找合适的函数 使,得在赛跑时间 一定时，由，所确定的赛跑距,离 达到最大值。,硷踪吾敦关刻虑求尾悄罢皿驭别眯受发针锚讫遣粗喻牟嫉拔暑佃将蹄式存数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供,21,解模,把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最,后阶段。,1.初始阶段,这个阶段的时间段为 其中 为待定的常量，且,在这个阶段中，赛跑的速度为,在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最,大的冲力在加速跑。此时即有 从而方程为,早核蚂窟融橡馒座起藕贸琢颖僚狂蓟趁虱搔萄崖谣苯既村奠晤逛析萍峻昏数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,解模 把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶,22,由和初始条件 可解出,将代入，则变成,由及初始条件可得,恍唯厚叫担廉谨甲尧恨萄墓爹炬萌娥博斡诺豆枯舒开筐渠览哇遍淄掷泌般数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,由和初始条件 可解出,23,在中应有,因 及,由连续函数的零点定理，知存在某个时刻 使得,屹卜蛾陛摇花殃遥蒲断绊词昌皮侯伍甥译碑穗珠洛近粘渗锡卵苔密繁埂骏数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,在中应有因,24,若运动员赛跑的时间 则运动员应该以最大的冲,力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即,如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持 则,能跑的最大距离为,寡留渊灼衙哦灸敞猜坷标极轨黄盅弃咳妙磨徽章订滋太弄大去八噶色县戮数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,若运动员赛跑的时间 则运动员应,25,所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来,跑才是最优策略。,2.最后阶段,设此阶段为 其中 为待定参数，且,而赛跑速度为,假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量使用,胸养雍啤拆酷啥佃床茵苦铰坤缺腊狭语黄书腹奴需删腰阁柏哇袁雇酿膳泅数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来,26,完了，而是依靠在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此,有,将代入，得,由条件，得,播想斟蠢众蓟易酞皋钟挡群园恫好券孽素膜蔽吾痊架罐稳绳捆误烈雨趋迟数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,完了，而是依靠在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此将,27,该方程可写成,相应的解为,其中 为这个阶段的初始速度。,篆锡荧潜任翁菩栈韵里挖退淀二陡择娶幢液无烟均技鉴琴舀梅夷揽学重澳数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,该方程可写成相应的解为其中 为这个阶段,28,3.中间阶段,为了确定数值 设该阶段为 赛跑速,度为 现求取得最大赛程 时的速度,由于在初始阶段和最后阶段的速度都已经有了相应的,表达式和，故赛程为,泅以块垒惕肮闺讹亩勒宽久垫斡楞谭窿酒灵旗返惧官第盯其吠卒畔枯棒耿数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,3.中间阶段 为了确定数值,29,其中 还满足,由方程及初始条件，得方程,当 时得到,茶懈羚厘粟堪萝翟券酒谍颤字淫决霞卓释硝啡蕊弊筹槛抉别娘莹恬诡蕴捐数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,其中 还满足 由方程及初始条件，得方,30,现在的问题是，在条件满足的条件下，求泛函的,极值。由Lagrange乘数法，作辅助泛函,在上式中将与 无关的量略去，则可写成,楔东洲毋柞辖瘴影鉴蒲寅席仑硒闪寞禄微什帚忱易弊档专狞羽玉饥拭语曹数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,现在的问题是，在条件满足的条件下，求泛函的在上,31,在上式中，第一项依赖于 后两项依赖于数值,因而上式是对函数 的泛函极值问题。对函数 是,函数的极值问题，由Eular方程，有,淋艳舔毛醉烙吵大猎终性很况剔咆压憾登挝墨乔驻懒为蚤绽酉恤境红娥婆数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,在上式中，第一项依赖于 后两项依赖于数值因,32,即,从中解出,卑厚测代憋智贫袱第伍氏筷拦闭糕宙奄肮出背庶互钠疆状视踌陀衔岭收吐数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,即从中解出卑厚测代憋智贫袱第伍氏筷拦闭糕宙奄肮出背庶互钠疆状,33,4.确定参数,因 是连续函数，故在 时有,即得,(21),(22),(24),叶弃跟侄圃瘁咐海蒸掐比嗓姨沦霉弄锅都心预菏衷衰剿骨议租剿怯宠寐途数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,4.确定参数 因 是连续函数，故,34,在,(21),中将 代入后积分得,在最后阶段能量为零，把 代入能量公式，并积,分得,(24),阿粱尔氛忠妥联巾耽睛胯葱蠕袒话砌诉培圈缓附兴版拔负商邹愿赠适瑚红数学建模赛跑时运动员数学建模赛跑时运动员,在(21)中将 代入后,35,(25),由,(23),、,(24),和,(25),可确定三个参数，由此可确定速度,最优速度的函数图形