单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第 9 章,矩阵位移法,第 9 章矩阵位移法,1,矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。,矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法。,矩阵位移法的基本环节：,结构的离散化-单元分析；集合成整体-整体分析。,任务,意义,建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵,用矩阵形式表示杆件的转角位移方程,由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵,用矩阵形式表示位移法基本方程,单元分析,整体分析,9-1 概 述,矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它,2,杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。,正负号规则：,1,2,e,E A I,l,(a),图(b)表示的杆端位移均为正方向。,单元编号,杆端编号,局部坐标,1,2,(b),杆端位移编号,1,2,杆端力编号,(c),9-2 单元刚度矩阵,(局部坐标系),1、,一般单元,图(a)表示单元编号、杆端编号和局部坐标，局部坐标 轴,与杆轴重合；,图(c)表示的杆端力均为正方向。,杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆,3,1,2,1,2,单元杆端位移向量,单元杆端力向量,凡是,符号上面带了一横杠,的就表示是基于,局部坐标系,而言的。,1212 单元杆端位移向量 单元杆端力向量凡是符号上面带,4,单元刚度方程,是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程，可记为“”方程。(,由位移求力,称为,正问题,),在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。,e,1,2,我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。,讨论单元刚度方程,：,1,v,1,u,2,u,2,v,e,e,1,2,由两个杆端轴向位移,可推算出相应的杆端轴向力,2,u,1,u,单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的,5,由两个杆端横向位移 和 可以用转角位移方程推导出相应的杆端横向力 和 。,e,1,2,1,v,1,u,2,u,2,v,e,将上面六个方程合并，按顺序排列：,由两个杆端横向位移,6,将上面的方程组写成矩阵形式：,上面的式子可以用矩阵符号记为,这就是局部坐标系中的,单元刚度方程,。,可求单元杆端力,通过这个式子由单元杆端位移,局部坐标系的单元刚度矩阵,将上面的方程组写成矩阵形式：上面的式子可以用矩阵符号记为这就,7,2、单元刚度矩阵的性质,单元刚度系数,的意义,代表单元杆端第,j,个位移分量等于1 时所引起的第,i,个杆端力分量。,例如：,代表单元杆端第2个位移分量 时所引起的第5个杆端力分量 的数值。,EA,l,6,EI,l,2,6,EI,l,2,EA,l,12,EI,l,3,12,EI,l,3,4,EI,l,2,EI,l,e,=,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(1),(2),(3),(4),(5),(6),0,0,0,0,0,0,6,EI,l,2,0,6,EI,l,2,0,-EA,l,-6,EI,l,2,-6,EI,l,2,EA,l,-12,EI,l,3,12,EI,l,3,2,EI,l,4,EI,l,0,0,0,0,0,0,-6,EI,l,2,0,6,EI,l,2,0,只与杆件本身性质有关而与外荷载无关,2、单元刚度矩阵的性质 单元刚度系数的意义 代表单元杆端,8,单元刚度矩阵 是,对称,矩阵，即 。,因此它的逆矩阵不存在。,由 有一组力的解答(唯一的)，即正问题。,由,如果 不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。,2、单元刚度矩阵的性质,一般单元的刚度矩阵 是,奇异,矩阵；,的系数行列式,直接计算矩阵行列式即可验证。,从力学上可以理解为：根据单元刚度方程,3、特殊单元,若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。,以连续梁为例：,e,从物理概念上看，因为杆端相当于没有约束（均可位移），自由体系在平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所以无法由平衡的外荷载唯一地确定位移。,单元刚度矩阵 是对称矩阵，即,9,1,2,e,为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。,12e为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一般单元,10,9-3 单元刚度矩阵,(整体坐标系),e,x,y,单元杆端力的转换,1、单元坐标转换矩阵,除连续梁外，一般结构中各杆件的轴线方向不尽相同，各自的局部坐标系也不尽相同。为了进行整体分析，必须选用一个统一的公共坐标系，称为整体坐标系。为保证变形协调和平衡，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的对整体坐标的量，因此要先解决坐标转换问题。下面先讨论自由式杆件单元的转换问题。,局部坐标系中，杆件轴线作为 轴。,9-3 单元刚度矩阵(整体坐标系)exy单元杆端力的转换,11,单元杆端力的转换写成矩阵形式：,或简写成：,单元坐标转换矩阵,正交矩阵,T,-1,=,T,T,单元杆端力的转换写成矩阵形式：或简写成：单元坐标转换矩阵正交,12,T,-1,=,T,T,或,T,T,T,=,T,T,T,=,I,于是有,同理，可求出单元杆端位移的转换式：,2、整体坐标系中的单元刚度矩阵,在局部坐标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：,在整体坐标系中杆端力与杆端位移的关系式可表达为：,两边前乘,T,T,比较式,(9-20),和,(,b,),可得：,整体坐标系中的单元刚度矩阵 与 同阶，具有类似的性质。,T-1=TT或 TTT=TT,13,忽略轴向变形时整体坐标系下的单刚为：,考虑轴向变形时整体坐标系下的单刚为：,忽略轴向变形时整体坐标系下的单刚为：考虑轴向变形时整体坐标系,14,当 时整体坐标系下的单刚为：,当 时整体坐标系下的单刚为：,当 时整体坐标系下的单刚为：当,15,例9-1.,试求图示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵,k,。设各杆的杆长,和截面尺寸相同。,l,=5m,l,=5m,x,y,l,=5m，,b,h,=0.5m 1m,A,=0.5m,2,解:,单元：,=0，,T,=,I,局部坐标系中的单元刚度矩阵,整体坐标系中的单元刚度矩阵,例9-1.试求图示刚架中各单元在整体坐标系中的刚度矩阵,16,单元 ：,=90，,单元坐标转换矩阵为,l,=5m,l,=5m,x,y,单元 ：=90，单元坐标转换矩阵为l=5ml,17,