,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,刘习军 张素侠,振动理论及工程应用,Theory of Vibration with Applications,*,2.1,两自由度系统的自由振动,2.2,两自由度系统的受迫振动,3.3,坐标的耦联,4.4,拍振,第三章 两自由度系统的振动,2.1 两自由度系统的自由振动 第三章 两自由度系,一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振动模型，要根据系统的结构特点和所研究的问题来决定。,工程中有很多实际问题必须简化成两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。,1,两自由度系统的自由振动,一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振动模型，,简化成二个自由度,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动,简化成二个自由度例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动,自由振动微分方程,由牛顿第二定律得,两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。,分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取,x,1,、,x,2,为广义坐标，,k,3,x,2,k,1,k,2,k,3,3.1.1,运动微分方程,自由振动微分方程由牛顿第二定律得 两自由度的弹簧质量,质量矩阵,刚度矩阵,加速度列阵,坐标列阵,质量矩阵刚度矩阵加速度列阵 坐标列阵,根据微分方程的理论，设方程的解为,3.1.2,频率方程,根据微分方程的理论，设方程的解为3.1.2 频率方程,系数行列式等于零,这就是两自由度系统的,频率方程,，也称,特征方程,即,系数行列式等于零 这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程,展式为,特征方程可写为,特征方程的两组特征根,设,展式为 特征方程可写为特征方程的两组特征根设,特征根,正值,小于,是两个大于零的不相等的正实根,特征根正值小于是两个大于零的不相等的正实根,p,1,、,p,2,就是系统的,自由振动频率,，即,固有频率,。较低的频率,p,1,称为第一阶固有频率；较高的频率,p,2,称为第二阶固有频率。,由式看出，固有频率,p,1,、,p,2,与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。,p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低,第一主振动,第二主振动,将第一固有频率,p,1,代入,3.1.3,主振型,将第二固有频率,p,2,代入,第一主振动 第二主振动 将第一固有频率p1代入3.1.3,第二阶主振型,第一阶主振,型,将第一、第二阶固有频率分别代入,得振幅比,第二阶主振型第一阶主振型将第一、第二阶固有频率分别代入得振幅,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,3.1.4,方程的解,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的,例,3-1,试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知,m,1,=,m,2,=,m,k,1,=,k,3,=,k,k,2,=4,k,，,再求该系统对以下两组初始条件的响应：,（,1,）,t,0,，,x,10,1cm,，,x,20,0,（,2,）,t,0,，,x,10,1cm,，,x,20,-1cm,Mechanical and Structural Vibration,k,1,k,2,k,3,例3-1 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。,解：（,1,）建立运动微分方程式,k,1,k,2,k,3,k,3,x,2,质量矩阵,刚度矩阵,矩阵形式,解：（1）建立运动微分方程式k1k2k3k3 x2 质量矩阵,将,M,和,K,代入频率方程,系统的第一阶和第二阶固有频率为,（,2,）解频率方程，求,p,i,将M和K代入频率方程系统的第一阶和第二阶固有频率为（2）解频,将 、分别代入，得,（,3,）求主振型,主振型为,振幅比为,将 、分别代入，得（3）求主振型主振型为振幅比为,(4),将初始条件（,1,）代入式，解得,得,(4)将初始条件（1）代入式，解得得,这表明，其响应为频率,p,1,、,p,2,的两种主振动的线性组合。,这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。,这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率,p,2,作谐振动。,(5),同理，再将初始条件,（,2,）,代入式,t,0,，,x,10,1cm,，,x,20,-1cm,这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按,3.2,两自由度系统的受迫振动,k,3,x,2,若两个物块受到激振力的作用,列出该系统的受迫振动微分方程，其矩阵形式为,质量矩阵,刚度矩阵,3.2 两自由度系统的受迫振动k3 x2 若两个,为简谐激振力的幅值列阵，,为激振频率,系统的稳态响应。设特解为,引入记号,为简谐激振力的幅值列阵，为激振频率系统的稳态响应。设特解为,得到关于振幅,B,1,、,B,2,的非齐次代数方程组为,此式的展式为,式中,由此解出受迫振动的振幅,得到关于振幅B1、B2的非齐次代数方程组为此式的展式为式中由,其中,p,1,、,p,2,为系统的两个固有频率,结论：在简谐干扰力作用下，两自由度无阻尼的线性振动系统的受迫振动是以干扰力频率为其频率的简谐振动。,受迫振动的振幅大小不仅和干扰力的幅值大小,F,1,、,F,2,有关，,而且和干扰力的频率,有关。特别是当,p,1,或,p,2,时，即当,干扰力的频率等于振动系统的固有频率时，振幅,B,1,、,B,2,将会,无限地增大，发生共振。与单自由度振动系统不同，两自由,度系统一般有两个固有频率，因此，可能出现两次共振。,其中,其中p1、p2为系统的两个固有频率 结论：在简谐干,两个质点的运动互相不独立，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做,耦联,。,表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在,静力耦联或弹性耦联,。,当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有,动力耦联或质量耦联,.,3.3,坐标的耦联,两个质点的运动互相不独立，它们彼此受另一个质点的,静力与动力耦联,x,1,C,l,1,l,2,C,mg,l,静力与动力耦联x1Cl1l2Cmgl,系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择，而与系统本身的特性无关。,一般说来，为了表示多质点系的运动状态，可以选用的独立坐标系，即广义坐标，有多种。,根据选择坐标的不同，系统可以是静力耦联、动力耦联、静力与动力耦联、非耦联的（完全无耦联）。,经特别选择的、可使方程式写成既无动力耦联又无静力耦联形式的坐标称为,主坐标,。,系统中是否存在耦联取决于用以表示运动的坐标的选择,前面讲到当同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的条件是两个简谐分量的频率相差很小。对于两自由度无阻尼的自由振动，即它们的主振动是简谐振动，所以当两个固有频率相差很小时，就可能出现拍振。,3.4,拍振,在振动系统中，如果坐标选择得当，即总是可以使微分方程式中分别只含一个未知数。如果能得到这种独立的运动方程式，则求方程的解就容易多了，可使问题大大简化。以上两个问题以例题形式进行说明。,前面讲到当同一方向两简谐振动合成时，出现拍振的,例：图示为两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度,k,很小，在,一定的初始条件,下，系统将作拍振。,取 、表示摆的角位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图。摆的微分方程为,例：图示为两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自,得到系统的第一阶和第二阶固有频率为,得到系统的第一阶和第二阶主振型为,第一主振动,第二主振动,得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统的第一阶和第二阶主,系统振动的一般解,初始条件：,t,=0,时,因此得到双摆作自由振动的规律,代入得到,系统振动的一般解初始条件：t=0时 因此得到双摆作自由振,这时,p,1,、,p,2,相差很少，摆将出现拍振。将上式写成,如果弹簧的刚度,k,很小，因而,拍频率,令,这时p1、p2相差很少，摆将出现拍振。将,拍振周期,拍振周期,若改变初始条件为：,t,=0,时,若改变初始条件为：t=0时,双摆的原微分方程,将以上两式相加、相减便得到,令,上式变为,双摆的原微分方程将以上两式相加、相减便得到令上式变为,可见 是系统的主坐标，可直接得到其固有频率为,设主坐标方程的解为,双摆系统的物理坐标的解为,其结果与直接求解微分方程的结果一样的，在多自由度系统振动中，就是主要介绍寻找系统主坐标和求解的方法。,可见 是系统的主,谢谢,谢谢,