单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4 空间直线的方程,显然，任何一个与直线L,平行的非零矢量都可以,作为直线L的方向矢量。,1.由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程,在空间给定了一点M,0,与一个非零矢量 ，,那么通过点M,0,且与矢量 平行的直线L就唯一地被确定，,矢量 叫做直线L的,方向矢量,。,M,0,3.4 空间直线的方程显然，任何一个与直线L1.由直线上,1,即,现按给定条件导出直线的方程,取空间取标架O;e,1,e,2,e,3,并设点M,0,的径矢为,直线L上任意点M的径矢为,那么，显然点M在直线L上的充要条件为,共线，,也就是,O,M,0,M,即现按给定条件导出直线的方程取空间取标架O;e1,e2,e,2,z,x,y,O,M,M,0,l,图 3-11,所以,（3.4-1）,叫做直线L的矢量式参数方程，其中t为参数。,如果设点坐标,M,0,(x,0,y,0,z,0,),M(x,y,z).,那么,zxyOMM0l图 3-11 所以（3.4-1）叫做直线L的,3,又设,那么由矢量式参数方程得,（3.4-2）,（3.4-2）叫做直线,l,的坐标式参数方程。,由(3.4-2)消去参数t，那么得到,(3.4-3),又设那么由矢量式参数方程得（3.4-2）（3.4-2）叫做,4,叫做直线,l,的,对称方程,或直线,l,的,标准方程,。,例1 求通过空间两点M,1,（x,1,y,1,z,1,)和M,2,(x,2,y,2,z,2,)的直 线,l,的方程。,设M(x,y,z)为直线,l,上的任意点,那么,解,取 作为直线,l,的方向矢量，,z,x,y,O,M,M,2,M,1,t,图 3-12,叫做直线l 的对称方程或直线l 的标准方程。例1 求通过,5,z,x,y,O,M,M,2,M,1,t,图 3-12,所以直线,l,的矢量式参数方程为：,坐标式参数方程为,(3.4-5),zxyOMM2M1t图 3-12所以直线l 的矢量式参数方程,6,对称式方程为,(3.4-6),方程(3.4-4),(3.4-5),(3.4-6)都叫做直线,l,的两点式方程。,在直角坐标系下，直线的方向矢量常常取,单位矢量,这是直线,l,的参数方程为,(3.4-7),对称式方程为(3.4-6)方程(3.4-4),(3.4-5),7,此时,坐标式参数方程,(3.4-8),直线,l,的对称方程为,(3.4-9),这时t的绝对值恰好是直线L上的两点M,0,与M间的距离，这是因为,此时,坐标式参数方程(3.4-8)直线l 的对称方程为,8,分别叫做直线的,方向角,与,方向余弦,.,直线的方向矢量的方向角,cos,，cos,cos,直线,的方向余弦有几组?,与方向余弦,l,m,n (,l:m:n=X:Y:Z,)叫做直线的,方向数,.,直线的方向矢量的分量X,Y,Z或与它们成比例的一组数,例1,X,轴所在直线的一组方向数为:,1,0,0,直线的方向角有几组？,直线的方向角、方向余弦和方向数,分别叫做直线的方向角与方向余弦.直线的方向矢量的方向角cos,9,显然直线的方向余弦与方向数之间有,下,面的关系：,注意,正(负)号同时取得,显然直线的方向余弦与方向数之间有下面的关系：注意正(负)号同,10,由于这里所讨论的直线，一般都不是有向直线，而且,两非零矢量X,Y,Z与X,Y,Z共线的充要条件为,或写成,X:Y:Z=X:Y:Z.,同样，在平面上用X:Y表示与矢量X:Y共线的,直线的,所以我们将用X:Y:Z来表示与非零矢量X,Y,Z共线的直线的方向（数）;,方向（数）.,例:1:2:3表示与矢量1,2,3共线的方向.,由于这里所讨论的直线，一般都不是有向直线，而且或写成,11,练习:第122页,1.,作业:第123页,2.(1).3.(1).5.,练习:第122页,1.作业:第123页,2.(1,12,2.直线的一般方程,设有两个平面,1,和,2,的方程为：,(3.4-11),如果A,1,：B,1,：C,1,A,2,：B,2,：C,2,，即方程组(3.4-11)中,的系数行列式,因为直线,l,上任意一点同在两平面上，所,以它的坐标必满足方程组(3.4-11);,不全为零，,那么平面,1,与,2,相交.,它们的交线设为直线,l,，,反过来，坐标满足方程组(3.4-11)的,2.直线的一般方程设有两个平面1和2的方程为：(3.,13,点在两平面上,因而一定在两平面的交线即直线,l,上.,因此方程组(3.4-11)表示直线,l,的方程，,我们把它叫做直线的一般方程.,直线的标准方程(3.4-3)是一般方程的特殊情形。,事实上，我们总可以将标准方程表示为一般方程的形式.,不妨设Z,0，,经过整理得下列形式。,点在两平面上,因而一定在两平面的交线即直线 l上.因此方程组,14,即,(3.4-12),即(3.4-12),15,（3.4-12）叫做直线,l,的,射影式方程,.,即,(3.4-12),显然这是一种特殊得一般方程。,直线,l,可以看作是用(3.4-12)中两个方程表示得两个平面的,交线，,而这两个平面是通过该直线且分别平行与Oy轴与Ox轴.,在直角坐标系下它们又分别垂直与坐标面xOz与yOz,（3.4-12）叫做直线l 的射影式方程.即(3.4-12),16,z,x,y,O,图 3-13,直线,l,的,射影式方程,分别消去,y,x,zxyO图 3-13直线l 的射影式方程分别消去y,x,17,反过来,直线的一般方程(3.4-11)也总可以化为标准,方程(3.4-4)的形式，这是因为(3.4-11)中三个系数行列,式,不全为零，不失一般性，设,那么由(3.4-11)中的两式分别消去y与x得直线的射影式方程为：,反过来,直线的一般方程(3.4-11)也总可以化,18,从而得直线的标准方程为,式中,从上可以看出，给定了直线的一般方程(3.4-11)，,我们立刻可以写出它的一组方向数，这就是方程组,(3.4-11)的三个二阶系数行列式,从而得直线的标准方程为式中 从上可以看出，给,19,由于这三个二阶行列式不能全为零，例如,例2 化直线L的一般方程,为标准方程。,那么我们就可使z取任意的值zz,0,(特别地可取z0)，,解方程组(3.4-11),得xx,0,yy,0,那么点M,0,(x,0,y,0,z,0,)就是直线上一点,于是得到了直线(3.4-11)的标准方程为,(3.4-11),由于这三个二阶行列式不能全为零，例如 例2 化,20,所以直线,l,的标准方程为,解法二 因为直线,l,的方向数为,所以直线L的标准方程为,解法一,因为y,z的系数行列式,所以可由,原方程组分别消去z和y，,得直线,l,的射影式方程为：,再设x0,解得y4，z1，,那么(0,4,1)为直线上的一点，,所以直线l 的标准方程为解法二 因为直线l 的方向数为,21,在直角坐标系下,(3.4-11)中两个平面的法矢量分别为,所以直线l的方向矢量可取为,例3 把直线l的一般方程,化为标准方程。,(3.4-11),在直角坐标系下,(3.4-11)中两个平面的法矢量分别为所以,22,因直线,l,平行于矢量,所以矢量 为直线l的方向矢量.,为直线,l,上的一点，,解,其次由于,因此令y0，,解方程组得x1，z1，,那么(1,0,1),所以直线l的标准方程为：,因直线l平行于矢量所以矢量,23,思考与练习:第122123页,1.4.,作业:第123页,2.(2).3.(4).,思考与练习:第122123页,1.4.,24,