,22 九月 2023,Page,1,第,4,节广义坐标形式的静力学普遍方程,第4节广义坐标形式的静力学普遍方程,静力学普遍方程的特点,作为对比，单个质点平衡时,F=0,在质点系中，通常受某些约束，各点的虚位移不独立，因此,静力学普遍方程的特点作为对比，单个质点平衡时F=0在质点系,若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？,今天的课堂内容，就是解决这样几个问题：,广义坐标的概念,自由度的概念,如果虚位移都是独立的，会有什么结果？,怎样选取独立的坐标？,广义力的概念,不独立,若坐标独立，其虚位移（变分）是否独立？今天的课堂内容，就,能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为,广义坐标,。,广义坐标数为：,根据需要可以任选,k,个可以确定质系可能位置的独立参数 作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。,广义坐标,空间质点系,平面质点系,N,质点的数目；,r,约束方程的个数,空间刚体系,平面刚体系,N,刚体的数目；,r,约束方程的个数,能够唯一地确定质系可能位置的独立参数称为广义坐标。广义坐标数,实例分析,利用广义坐标描述质系运动，,几何约束自然满足,O,x,y,r,l,A,B,把,A,、,B,看成是两个可运动的质点，,广义坐标数为：,N,=2,OA,、,AB,长度为约束，,B,点上下运动也受约束，共有,3,个约束方程,r,=3,如果考虑系统有,A,、,B,、,O,共,3,个质点,，,N,3,，则约束也增加，,r,5,，广义坐标数,k,2N,r,1,因此，在考虑广义坐标系时，只需考虑运动的质点,实例分析利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足Oxyrl,另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？,O,x,y,r,l,A,B,如果把杆,OA,、杆,AB,、滑块,B,看成是刚体，则原先的,A,、,B,、,O,点看成是约束，广义自由度该如何计算？,3,个刚体，,N,3,约束方程：,每个平面铰链有,2,个约束方程，共,6,个；,对滑块,B,，不能转动，不能上下运动，有,2,个约束方程；,r=6+2=8,广义坐标数目,K=3N r=9 8=1,广义坐标的计算有不同的方法，结果都应该相同,另一个问题：广义坐标独立，但是其变分是否独立？OxyrlAB,独立的虚位移数就是质系的,自由度,。,自由度,N,质点总数,r,完整约束的总数；,s,非完整约束的总数；,自由度数目,比较：,广义坐标数为：,如果是完整约束，,k,n,如果是非完整约束，,kn,独立的虚位移数就是质系的自由度。自由度N 质点总数 自由,完整约束的例子,O,x,y,r,l,A,B,广义坐标数目为,1,，,自由度数为,1,刚性杆,广义坐标数目为,1,，,自由度数为,1,弹簧,广义坐标数目为,2,，,自由度数为,2,完整约束的例子OxyrlAB广义坐标数目为1，刚性杆广义坐标,为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为,非完整约束的例子,独立的广义坐标数为,5,；自由度为,3,。,为了描述圆球在水平面上作纯滚动，独立的参数为非完整约束的例子,广义坐标形式的静力学普遍方程,广义坐标形式的静力学普遍方程,Q,j,称为对应于广义坐标,q,j,的,广义力,。,广义力是广义坐标和时间的函数,。,广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。,广义力与真实力相比，数目大为减少。,Qj 称为对应于广义坐标 qj 的广义力。广义力是广义坐,具有,完整理想,约束的质系，其平衡的充分必要条件是：,所有的广义力等于零,。,静力学普遍方程,上述结论的条件是什么？,广义坐标独立，与广义坐标的变分独立，是否是一回事？,具有完整理想约束的质系，其平衡的充分必要条件是：所有的广义力,例,1,惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长,2a,，短杆长,a,，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力,P,的作用，问下部力,Q,的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中,为已知角。,例1惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，,解,取,为广义坐标,解取为广义坐标,例,2,均质杆,OA,和,AB,用铰,A,连接，用铰,O,固定。两杆的长度为 和 ，重量为均为,P,。在,B,端作用一水平力 ，求平衡时两杆与竖直方向夹角,例2均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度为,取,a,、,b,为广义坐标,解 解析法,取a、b 为广义坐标解 解析法,广义坐标形式的虚位移原理课件,解 几何法,首先取,解 几何法首先取,再取,再取,例,3,已知：,m,1,m,2,M,且,接触面光滑。,求：平衡时，,m,1,m,2,M,的关系。,M,例3已知：m1,m2,M,且接触面光滑。,解,二自由度的平衡问题,选独立的广义坐标,x,1,x,2,m,2,g,m,1,g,M,g,M,解二自由度的平衡问题选独立的广义坐标 x1,x2m2gm1,第,5,节,主动力有势情况下的静力学普遍方程,第5节主动力有势情况下的静力学普遍方程,力场,若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而,与其速度无关,，则称该空间区域存在,力场,，如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。,若存在标量函数,V,，只依赖于质点,P,i,的坐标,x,i,、,y,i,、,z,i,，并且质点,P,i,在力场中所受的力等于,则称力场,有势,，函数,V,为,势能,，,F,i,为有,势力,。,力场若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，,主动力有势情况下的静力学普遍方程,设质系所受的主动力有势,：,质系的平衡方程,主动力有势情况下的静力学普遍方程设质系所受的主动力有势：质系,对主动力有势的,质系,，其,势能在平衡位置取驻值,。,拉格朗日定理：,对完整保守系统若势能函数在平衡位置取孤立极小值,则该平稳位置稳定。,q,V,q,V,对主动力有势的质系，其势能在平衡位置取驻值。拉格朗日定理：对,结果与前相同。,M,a,已知：,m,1,m,2,M,且,接触面光滑。,求：平衡时，,m,1,m,2,M,的关系。,例,1,结果与前相同。Ma已知：m1,m2,M,例,2,已知,：灯,G,的质量为,m,，,A,、,C,为铰链，,B,为套筒。杆的质量不计。当,=180,时弹簧为原长。,求,：当,=120,系统处于平衡时，弹簧刚度,k,应具有的大小，并讨论该平衡位置的稳定性。,例2已知：灯G的质量为m，A、C为铰链，B为套筒。杆的质量不,解,系统处于稳定平衡位置,解 系统处于稳定平衡位置,作业,5,15,5,16,5,25,5,27,作业,