单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.4,文克勒地基上梁的计算,3.4.1,无限长梁的解答,1.,微分方程式,*,1,3.4 文克勒地基上梁的计算3.4.1 无限长梁的解答*1,根据材料力学，,梁挠度,w,的微分方程式,为：,由梁的微单元的静力平衡条件,M,=0,、,V,=0,得到：,*,2,根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：由梁的微单元的静力平衡,将式（,3-9,）连续对坐标,x,取两次导数，便得：,对于没有分布荷载作用（,q,=,0,）的梁段，上式成为：,上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。,*,3,将式（3-9）连续对坐标x取两次导数，便得：对于没有分布荷,采用文克勒地基模型时，,根据变形协调条件，地基沉降等于梁的挠度：,s=w,，,上式即为文克勒地基上梁的挠曲微分方程。,*,4,采用文克勒地基模型时，根据变形协调条件，地基沉降等于梁的挠,称为梁的,柔度特征值,，量纲为,l,/,长度,，其倒数,1,/,称为,特征长度,。,值与地基的基床系数和梁的抗弯刚度有关，值愈小，则基础的相对刚度愈大。,上式是四阶常系数线性常微分方程，可以用比较简便的方法得到它的通解：,式中,C,、,C,、,C,和,C,为积分常数,*,5,称为梁的柔度特征值，量纲为l/长度，其倒数1/称为特,2.,集中荷载作用下的解答,(1),竖向集中力作用下,边界条件：,当,x,时，,w,0,。将此边界条件代入上式，得,C,=,C,=0,。于是，对梁的右半部，上式成为：,对称性：,在,x,=0,处，,d,w/,d,x,=0,，代入上式得,C,3,C,4,=0,。令,C,3,=,C,4,=,C,，则上式成为,*,6,2.集中荷载作用下的解答(1)竖向集中力作用下 边界条件,静力平衡条件：,再在,O,点处紧靠,F,0,的左、右侧把梁切开，则作用于,O,点左右两侧截面上的剪力均等于,F,0,之半，且指向上方。根据符号规定，在右侧截面有,V=,F,0,/2,，,由此得,C,=,F,0,/2,kb,。,F,0,+,V,符号规定,*,7,静力平衡条件：再在O点处紧靠F0的左、右侧把梁切开，则作用于,将上式对,x,依次取一阶、二阶和三阶导数：,对,F,0,左边的截面（,x,0,），需用,x,的绝对值代入计算，计算结果为,w,和,M,时正负号不变，但,q,和,V,则取相反的符号,。,*,8,将上式对x依次取一阶、二阶和三阶导数：对F0左边的截面（x,（,2,）集中力偶作用下,当,x,时，,w,0,，,C,=,C,=0,。,当,x,=0,时,w,=0,，所以,C,3,=0,。,M,0,M,0,/2,在右侧截面有,M,=,M,0,/2,，由此得,C,4,=,M,0,2,/,kb,，于是,+,M,符号规定,*,9,（2）集中力偶作用下 当x时，w0，C=C=0。,求,w,对,x,的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：,当计算截面位于,M,0,的左边时，上式中的,x,取绝对值，,w,和,M,取与计算结果相反的符号，而,q,和,V,的符号不变。,*,10,求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：当计算截,多个集中荷载作用：,注意,在每一次计算时，均,需把坐标原点移到相应的集中荷载作用点处。,*,11,多个集中荷载作用：注意在每一次计算时，均需把坐标原点移到相应,3.4.2,有限长梁的计算,对于有限长梁，有多种方法求解。这里介绍的方法是以上面导得的无限长梁的计算公式为基础，利用叠加原理来求得满足有限长梁两自由端边界条件的解答，其,原理如下。,附加荷载,F,A,、,M,A,和,F,B,、,M,B,称,为,梁端边界条件力。,*,12,3.4.2 有限长梁的计算 对于有限长梁，有多种方法求解。这,设外荷载在梁,A,、,B,两截面上所产生的弯矩和剪力分别为,M,a,、,V,a,及,M,b,、,V,b,，则,*,13,设外荷载在梁A、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别为Ma、V,解上述方程组得：,*,14,解上述方程组得：*14,当作用于有限长梁上的外荷载对称时，,V,a,=-,V,b,，,M,a,=,M,b,，则式（,3-24,）可简化为：,*,15,当作用于有限长梁上的外荷载对称时，Va=-Vb，Ma=Mb，,计算步骤归纳如下：,（,1,）按式（,3,18,）和式,(3-21),以叠加法计算已知荷载在梁,上相应于梁,两端的,A,和,B,截面引起的弯矩和剪力,M,a,、,V,a,及,M,b,、,V,b,;,（,2,）按式（,3-24,）或（,3-25,）计算梁端边界条件力,F,A,、,M,A,和,F,B,、,M,B,；,（,3,）再按式（,3-18,）和（,3-21,）以叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，梁,上相应于梁,所求截面处的,w,、,q,、,M,和,V,值。,*,16,计算步骤归纳如下：（1）按式（318）和式(3-21)以,3.4.3,地基上梁的柔度指数,在梁端边界条件力的计算公式,式（,3-24,）,中，所有的系数都是,l,l,的函数。,l,l,称为柔度指数,，它是表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值。当,l,l,0,时，梁的刚度为无限大，可视为刚性梁；而当,l,l,时，梁是无限长的，可视为柔性梁。,l,/4,短梁（刚性梁）,/4,l,/,时，按无限长梁计算,w,、,M,、,V,的误差将不超过,4.3,；而对梁长为,/,，但荷载作用于梁中部的梁来说，只能按有限长梁计算。,x,/,/,*,18,对短梁，可采用基底反力呈直线变化的简化方法计算；对长,3.4.4,基床系数的确定,根据式,（,3-1,）的定义，基床系数,k,可以表示为：,k,=,p,/,s,（,3-26,）,由上式可知，,基床系数,k,不是单纯表征土的力学性质的计算指标,，其值取决于许多复杂的因素，例如基底压力的大小及分布、土的压缩性、土层厚度、邻近荷载影响等。因此，严格说来，在进行地基上梁或板的分析之前，基床系数的数值是难于准确预定的。,*,19,3.4.4 基床系数的确定 根据式（3-1）的定义，,（,1,）按基础的预估沉降量确定,对于某个特定的地基和基础条件，可用下式估算基床系数：,k,=,p,0,/,s,m,（,3-27,）,式中,p,0,基底平均附加压力；,s,m,基础的平均沉降量。,对于厚度为,h,的薄压缩层地基，基底平均沉降,s,m,=,z,h,/,E,s,p,0,h,/,E,s,，代入式,（,3-27,）,得,k,=,E,s,/,h,（,3-28,）,式中,E,s,土层的平均压缩模量。,如薄压缩层地基由若干分层组成，则上式可写成,（,3-29,）,式中,h,i,、,E,s,i,第,i,层土的厚度和压缩模量。,*,20,（1）按基础的预估沉降量确定 对于厚度为h的薄,（,2,）其他方法（载荷试验、表格法等）,基 床 系 数,k,值,土的分类,土的状态,kN/m,3,淤泥质粘土,3.0,5.0,淤泥质粉质粘土,5.0,10,粘土，粉质粘土,软 塑,可 塑,硬 塑,5.0,20,20,40,40,100,砂土,松 散,中 密,密 实,7.0,15,15,25,25,40,砾石,中 密,25,40,*,21,（2）其他方法（载荷试验、表格法等）基 床 系 数,基床系数,k,的取值对计算结果的影响：,在常用,k,值范围内（,k,0.1,50MN/m,3,），,对弯矩影响不大,，,但,对基础沉降影响很大,参见例题,3-1,（,4,）,。,*,22,基床系数k的取值对计算结果的影响：*22,例图,3-1,中的条形基础抗弯刚度,EI,=4.310,3,MPam,4,，长,l,=17m,，底面宽,b,=2.5m,，预估平均沉降,s,m,=39.7mm,。试计算基础中点,C,处的挠度、弯矩和基底净反力。,例题,3-1,*,23,例图3-1中的条形基础抗弯刚度EI=4.3103 MPa,【,解,】,（,1,）确定基床系数,k,设基底附加压力,p,0,约等于基底平均净反力,p,j,：,以下步骤自看。例题,3-2,自看。,习题,3-2,*,24,【解】（1）确定基床系数k以下步骤自看。例题3-2自看。习题,3.6,柱下条形基础,柱下条形基础是常用于软弱地基上框架或排架结构的一种基础类型。它具有刚度大、调整不均匀沉降能力强的优点，但造价较高。因此，在一般情况下，柱下应优先考虑设置扩展基础，如遇下述特殊情况时可以考虑采用柱下条形基础：,（,1,）当地基较软弱，承载力较低，而荷载较大时，或地基压缩性不均匀（如地基中有局部软弱夹层、土洞等）时；,（,2,）当荷载分布不均匀，有可能导致较大的不均匀沉降时；,（,3,）当上部结构对基础沉降比较敏感，有可能产生较大的次应力或影响使用功能时。,*,25,3.6 柱下条形基础 柱下条形基础是常用于软弱地基上框架或排,3.6.1,构造要求,肋梁高度,不宜太小，一般为柱距的,1/8,1/4,，并应满足受剪承载力计算的要求。,当柱荷载较大时，可在柱两侧局部增高（,加腋,），如图,2-6b,所示。,*,26,3.6.1 构造要求肋梁高度不宜太小，一般为柱距的1/81,一般肋梁沿纵向取等截面，梁每侧比柱至少宽出,50mm,。当柱垂直于肋梁轴线方向的截面边长大于,400mm,时，可仅在柱位处将肋部加宽。,翼板厚度,不应小于,200mm,。当翼板厚度为,200,250mm,时，宜用等厚度翼板；当翼板厚度大于,250mm,时，宜用变厚度翼板，其坡度小于或等于,1:3,。,*,27,一般肋梁沿纵向取等截面，梁每侧比柱至少宽出50mm。当柱垂直,为了调整基底形心位置，使基底压力分布较为均匀，并使各柱下弯矩与跨中弯矩趋于均衡以利配筋，条形基础端部应沿纵向从两端边柱外伸，外伸长度宜为边跨跨距的,0.25,0.30,倍。当荷载不对称时，两端伸出长度可不相等，以使基底形心与荷载合力作用点重合。但也不宜伸出太多，以免基础梁在柱位处正弯矩太大。,*,28,为了调整基底形心位置，使基底压力分布较为均匀，并使各柱下弯,考虑到条形基础可能出现整体弯曲，且其内力分析往往不很准确，故顶面的纵向受力钢筋宜全部通长配置，底面通长钢筋的面积不应少于底面受力钢筋总面积的,1/3,。,*,29,考虑到条形基础可能出现整体弯曲，且其内力分析往往不很准确，故,翼板的,横向受力钢筋,由计算确定，但直径不应小于,10mm,，间距,100,200mm,。非肋部分的纵向分布钢筋可用直径,8,10mm,，间距不大于,300mm,。其余构造要求可参照钢筋混凝土扩展基础的有关规定。,柱下条形基础的,混凝土强度等级,不应低于,C,20,。,*,30,翼板的横向受力钢筋由计算确定，但直径不应小于10mm，间距1,3.6.2,内力计算,计算,方法,简化计算法,弹性地基梁法,静定分析法,（静定梁法）,倒梁法,假定上部结构刚度很小,假定上部结构刚度很大,*,31,3.6.2 内力计算计算简化计算法弹性地基梁法静定分析法倒梁,1.,简化计算法,基底反力为直线（平面）分布。,为满足这一假定，要求条形基础具有足够的相对刚度。当柱距相差不大时，通常要求基础上的平均柱距,l,m,应满足下列条件：,假设,*,32,1.简化计算法基底反力为直线（平面）分布。为满足这一假定,由于静定分析法假定上部结构为柔性结构，即不考虑上部结构刚度的有利影响，所以在荷载作用下基础梁将产生整体弯曲。与其他方法比较，这样计算所得的基础不利截面上的弯矩,绝对值可能偏大很多。,静定分析法,*,33,由于静定分析法假定上部结构为柔性结构，即不考虑上部结构刚度,倒梁法,这种计算方法只考虑出现于柱间的局部弯曲，而略去沿基础全长发生的整体弯曲，因而所得的弯矩图正负,弯矩最大值较为均衡，基础不利截面的弯矩最小。,在比较均匀的地基上，上部结构刚度较好，荷载分布和柱距较均匀（如相差不超过,20%,），且条形基础梁的高度不小于,1/6,柱距时，基底反力可按直线分布，基础梁的内力可按倒梁法计算。,*,34,倒梁法这