,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 线性系统的数学模型,系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达。在动态过程中，系统各变量之间的关系可用微分方程来描述，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数、方框图、信号流图以及频率特性。系统数学模型的建立一般采用解析法和实验辨识法，,本章主要讨论如何用解析法来建立线性定常系统的微分方程、传递函数以及方框图、信号流图等数学模型。,桌沥发淆货阐晶血爆毙考绣慎彬斩跪宜混畅攘炸懂恼凌鹅营竣锯陪拦昨宝第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,1,第二章 线性系统的数学模型 系统的数,建模方法：分析法、实验法,分析法,是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。,利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。,线性定常,控制系统数学模型的类型,时域模型,微分方程,频域模型,频率特性,方框图=,原理图,数学模型,复数域模型,传递函数,现暖贵晶烫袍颧励腆挥高即硒光塞李苞聊酣号萎报怨暮当晋克箔豪考舌络第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,2,建模方法：分析法、实验法分析法是对系统各部分的运动机理进,实验法,（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。,系统辨识,（数学建模）是一门独立学科,方法,：频率响应法 最小二乘法(曲线拟合),神经网络法 模糊模型法,模型验证,：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型必须保证两个输出之间在一定意义上的接近。,黑匣子,输入（充分激励）,输出（测量结果）,蹭冗桑瘦弱围啥幌傈粕伤琳约戴他桐嘶背神涩拟较她膜濒舆搐促沪瘟枣洲第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,3,实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，,第二章 线性系统的数学模型,2-1 系统的微分方程,2-2 控制系统的时域数学模型,2-3 控制系统的复域数学模型,2-4 控制系统的结构图和信号流图,2-5 反馈控制系统的传递函数,顺出韦谤尼凭掂恭煤坍江灭迟号寺荆鲍陆卵撰销氢娄乞铝箱铬淘谈驯污寒第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,4,第二章 线性系统的数学模型 2-1 系统的微分,2-1 系统的微分方程,在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制,条件下，都可以用线性微分方程来描述。,用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：,第二步,：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。,第一步,：将系统分成若干个环节，确定输入量和输出量，列写各环节的输出输入的数学表达式。,第三步,：(进行标准化)输入有关的项放在方程的右端，与输出有关的项放在方程左端，方程两端变量的导数均按降幂排列。,堪霸朝谚规告肤疫咽韭截舰砂掌固万集甜羽端慌够兑奠惧菜敝碾孝曾干砰第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,5,2-1 系统的微分方程 在实际应用中，绝大多数,电气系统,电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运放,等元件组成的电路。像电阻、电感、电容这类本身不含,电源的器件，称为,无源器件,，像运放这种本身包含电源,的器件称为,有源器件,。仅有无源器件组成的电气网络称,为,无源网络,。如果包含有源器件，则称为,有源网络,。,列写电气网络的微分方程时都要用到基尔霍夫电流定律,和电压定律，用下式表示：,淀对润诡小攫啪那小红夷护窖妥惺没豪剔良鹏烛拔晴责瑞撇损哥努釜递懊第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,6,电气系统电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运放淀对,机械系统,机械系统指的是存在机械运动的装置，遵循物理学,中的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称,为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。,作直线运动的物体遵循的基本力学定律是牛顿第二定律,作转动的物体遵循的基本力学定律是牛顿转动定律,抹浅锐盅履瑶倦伦酋坐咏侨贷淳成途肄中朵圭谣叹岸挎售母剩玫冒齿娃隶第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,7,机械系统 机械系统指的是存在机械运动的装置，遵循物理学,机械系统摩擦力,运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力,F,c,可表示成,其中，称为粘性摩擦力，与运动速度成正比，,f,为粘性系数，,F,f,为恒值摩擦力，也叫库仑力。,转动的物体，摩擦力的作用体现为如下的摩擦力矩,T,c,:,其中，称为粘性摩擦力矩，与角速度成正比，,K,c,为粘性阻尼系数，,T,f,为恒值摩擦力矩。,捎点漾荔识答呛吏颇伤韵娠剁啊勺暗冗颂脆凿杠巧攒鹊筒裁褒串蛹浓涨龚第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,8,机械系统摩擦力运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc,例 电气系统,解：明确输入量,u,r,，输出量,u,c,第一步：环节数学表达式,二阶线性微分方程,第二步：消去中间变量,隔锅曲硝馒辜源栽惦禾妮杠庞琼殿戊啃袱酷褥勘渊皖灌傀织甸谱粟喀君屋第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,9,例 电气系统二阶线性微分方程第二步：消去中间变量隔锅曲硝馒,列写图示的电枢控制直流电动机的微分方程，要,求取电枢电压,U,a,(,t,)为输入量，电动机转速,m,(,t,)为输出,量，列写微分方程。图中,R,a,、L,a,分别是电枢电路的电阻,和电感，,M,c,是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁,磁通为常值。,例 机电系统,渡忧罪邓端怖同愉减廉亿售哲疥徽燎拦越疹讼研邹潭阎踢瓮袍卧虾旅琶囤第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,10,列写图示的电枢控制直流电动机的微分方程，,解：,电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压,U,a,(,t,)在电枢回路中产生电枢电流,i,a,(,t,),再由电流,i,a,(,t,)与激磁磁通相互作用产生电磁转距,M,m,(,t,),，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。,电枢回路电压平衡方程,电磁转距方程,电动机轴上的转距平衡方程,稗胀肛衔给幻甥糟详槽消谊媚胚窘治久圣寄经雍黑狡皂借晴灰笑袭钻铂钓第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,11,解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转,E,a,是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压,U,a,(,t,)相反，即,电枢回路电压平衡方程：,E,a,=C,e,m,(t),C,e,反电势系数,猪肮或狼砾鸵谈漏落假痰凤期喊坑茶盗梢哭耐颈铰匣驹唆玖幸风炔题确棒第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,12,Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与,C,m,-电动机转距系数（Nm/A）,M,m,(,t,)-,是由电枢电流产生的电磁转距（Nm）,电动机轴上的转距平衡方程：,f,m,-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数,J,m,转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）,电磁转距方程：,M,c,(,t,)-是折合到电动机轴上的总负载转距,引棵区遂葛褂语惫恒滦跺舟吊源枕耀妒渺育骤分蝶晦谊邓瘤窝坍遍糕跋遗第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,13,Cm-电动机转距系数（Nm/A）Mm(t)-是由电枢,电动机机电时间常数（s）,在工程应用中，由于电枢电路电感,L,a,较小，通常忽略不计，因而可简化为,、求出,i,a,(,t,),，,代入同时亦代入得：,赚克礁竞武假渠较铂诚窥睫塘苇喂外嚏篆浩馏嘲顶番皮龄甚烂埃襄汀梅男第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,14,电动机机电时间常数（s）在工程应用中，由于电枢电路,例 机械系统,列写质量,m,在外力,F,(,t,)作用下，位移,x,(,t,)的运动方程。,解：设质量,m,相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为,x,(,t,)、,dx,(,t,)/,dt,、,d,2,x,(,t,)/,dt,2,由牛顿运动定律，有,阻尼器是产生粘性摩擦的阻尼,装置，其阻力与运动方向相反,与运动速度成正比。,棕羽俺皋顺来薪沦湘衰蕊涣旺驹噬鲤兽沧逛狈摸傅侦刮涵告盘赢接处燕赘第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,15,例 机械系统列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运,列写微分方程要注意,：,确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。,在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为,c,(,t,)为输出量，,r,(,t,)为输入量，系数,a,i,(,i,=0,1,n,)和,b,j,(,j,=0,1,m,)是与系统结构和参数有关的常系数，对实际系统有,n,m,。,裴代地酒臼湃磷翁口鞠执罪贫塌孟裁旷蜜邵拒憾蔼磅扛痊堤芭嚎硕旷悠则第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,16,列写微分方程要注意：裴代地酒臼湃磷翁口鞠执罪贫塌孟裁旷蜜邵拒,2-2,非线性数学模型的线性化,在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。,线性化的方法有很多种，例如下图所示的具有饱和特性的放大器，在,小信号,输入时，输入与输出的关系是线性的，可视为线性元件。,接虎各塞蛔九砰浚鼻岳禽协亏堑隧颈耸诀显试挽鳞评苞翼德跳漆坍苫侥煌第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,17,2-2 非线性数学模型的线性化 在一定的条件,此外，在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，,当变量在工作点附近作小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为,小偏差法,。,例如，设非线性函数,y,=,f,(,x,)如图所示，其输入量为,x,，输出量为,y,，如果在给定工作点,y,0,=,f,(,x,0,)处各阶导数均存在，,则在,y,0,=,f,(,x,0,)附近将,y,展开成泰勒级数：,y=f(x),y,0,x,0,x,y,小偏差线性化示意图,贡泰劳刮兔情覆铅攒倔漱妈余杠张嘎劈磕渗排七壤诫靡浦俱鼻戏贴稿痕泼第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,18,此外，在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作,如果偏差,x,=,x,-,x,0,很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为,K,表示,y,=,f,(,x,)曲线在(,x,0,y,0,)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。,斗苟洗例雏肌凯俩粪猜靶浆栋梳添爹锤珐鸥吐杜圈酬抑默咆拼捷袁曹佩夯第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,19,如果偏差x=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式,在处理线性化问题时，需要注意以下几点：,1.,上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。,2.,在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。,3.,如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。,4.,线性化后的微分方程通常是增量方程，在实际运用中为了方便起见，通常直接采用,y,和,x,来表示增量。,涯袁掷霹浙奋雍迸吉顿挥旷砸啡藩猩纯逛渝炔琴神颁诬赤际七凹住干但惋第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型1,20,在处理线性化问题时，需要注意以下几点：涯袁掷霹浙奋雍迸吉顿挥,用拉普拉斯变换求解线性微分方程,建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解就可以得到表示系统动态