,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.4,二次函数的图象和性质,5.4 二次函数的图象和性质,知识回顾，问题引入,1,.,什么是二次函数？,一般地，若两个变量,x,，,y,之间的对应关系可以表示成,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,，,b,，,c,是常数，,a,0,）的形式，则称,y,是,x,的二次函数,.,2,.,在二次函数,y,=,x,2,中，,y,随,x,的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？,知识回顾，问题引入1.什么是二次函数？一般地，若,-,2,4,-,1,1,0,1,0,1,2,4,合作学习，探究一,画二次函数,y,=,x,2,的图象,（,1,）观察,y,=,x,2,的表达式，选择适当的,x,值，并计算相应的,y,值，完成下表：,x,y,-24-11010124合作学习，探究一画二次函数y,(,2,),在直角坐标系中描点,（,3,）用光滑的曲线连接各点，便得到函数,y,=,x,2,的图象,y,=,x,2,(2)在直角坐标系中描点（3）用光滑的曲线连接各点,（,1,）这个函数的图象形状是怎样的？,（,2,）图象与,x,轴的交点坐标是什么？,（,3,）,y,随,x,的变化而怎样变化？,（,1,）图象是一条抛物线；,（,2,）有交点，坐标为（,0,0,）；,（,3,）当,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小，,当,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大；,（1）这个函数的图象形状是怎样的？（1）图象是一条抛物线；,（,4,）当,x,=,0,时，,y,的值最大，,y,最大值,=,0,；,（,5,）是轴对称图形，对称轴是,y,轴,（直线,x,=,0,），如（,1,，,1,）和（,-,1,，,1,）等,.,（,4,）,x,取何值时，,y,的值最小？是多少？,（,5,）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点,.,（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0；（4）x取何值时,二次函数,y,=,x,2,的图象是一条,抛物线,，,开口方向：,向上,对称轴：,y,轴,顶点,：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点,.,坐标为,（,0,0,）,二次函数y=x2的图象是一条抛物线，,二次函数,y,=-,x,2,的图象也是一条抛物线，,它与二次函数,y,=,x,2,的图象关于,x,轴对称,二次函数,y,=-,x,2,的图象是什么形状？,它与二次函数,y,=,x,2,的图象有什么关系？,二次函数y=-x2 的图象也是一条抛物线，,图象,开口方向,对称轴,顶点坐标,y,=,x,2,y,=,-,x,2,向上,向下,y,轴,（,0,，,0,）,抛,物,线,图象开口方向对称轴顶点坐标y=x2y=-x2 向上,增减性：,y,=,x,2,:,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小,x,0,时,，,y,随,x,的增大而增大,y,=,-,x,2,:,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小,最值：,y,=,x,2,:,x,=,0,时，,y,最小值,=,0,y,=,-,x,2,:,x,=,0,时，,y,最大值,=,0,增减性：,在图,2,-,4,中画出二次函数,y,=,3,x,2,的图象，并思考下列问题：,（,1,）图象：,_,开口方向：,_,对称轴：,_,顶点坐标：,_,（,2,）它与,y,=,x,2,的图象的,相同点：,_,；,不同点：,_,.,抛物线,向上,y,轴,（,0,，,0,）,形状、开口方向、对称轴、顶点坐标,开口大小,在图2-4中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列,相同：,形状,开口方向,对称轴,顶点坐标,不同：,开口大小,a,越大，开口越小,在图,2,-,4,中画出,y,=,x,2,的图象，它与,y,=,x,2,，,y,=,3,x,2,的图象有什么相同和不同？,想一想,相同：不同：a越大，开口越小 在图2-4中画出y,函数,y,=,ax,2,（,a,0,）的图象性质,图象：,开口方向：,_,对称轴：,_,顶点坐标：,_.,向上,y,轴,（,0,，,0,）,函数y=ax2（a0）的图象性质向上y轴（0，0）,增减性：,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,最值：,当,x,=,0,时，,y,取得最小值,y,最小值,=,0,增减性：,函数,y,=,ax,2,（,a,0,）的图象性质,图象：,开口方向：,_,，对称轴：,_,顶点坐标：,_.,向下,y,轴,（,0,0,）,函数y=ax2（a0）的图象性质向下y轴（0,0）,增减性：,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小,最值：,当,x,=,0,时，,y,取得最大值,y,最大值,=,0,增减性：,1,.,二次函数,y,=-,x,2,中，当,y,=-,16,时，,x,=,_,.,2,.,已知函数,y,=,ax,2,的图象过点（,3,，,9,），和（,2,，,t,）,（,1,）求,a,和,t,的值；,（,2,）试判断这个函数的图象是否,过点（,-,3,，,9,）,.,过点（,-,3,9,）,a,=,1,t,=,4,能力小测试：,1.二次函数y=-x2中，当y=-16时，过点（-3,9）a,画出二次函数,y,=,2,x,2,+,1,的图象,y,=,2,x,2,+,1,y,=,2,x,2,合作学习，探究二,画出二次函数y=2x2+1的图象y=2x2+1y=2x2合作,y,=,2,x,2,+,1,的图象：,由,y,=,2,x,2,的图象向上平移,1,个单位得到,开口方向：向上,对称轴：,y,轴,顶点坐标：（,0,，,1,）,二次函数,y,=,2,x,2,+,1,的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数,y,=,2,x,2,的图象有什么关系？,y,=,2,x,2,y,=,2,x,2,+,1,y=2x2+1的图象：二次函数y=2x2+,y,=,2,x,2,-,1,的图象：,由,y,=,2,x,2,的图象向下平移,1,个单位得到,开口方向：向上,对称轴：,y,轴,顶点坐标：（,0,-,1,）,二次函数,y,=,2,x,2,-,1,的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数,y,=,2,x,2,的图象有什么关系？,y,=,2,x,2,y,=,2,x,2,-,1,y=2x2-1的图象：二次函数y=2x2-,函数,y,=,ax,2,+,c,（,a,0,）的图象性质,平移：,由,y,=,ax,2,向上或向下,平移,c,个单位得到,开口方向：,对称轴：顶点坐标：,向上,y,轴,（,0,，,c,）,函数y=ax2+c（a0）的图象性质向上y轴（0，c）,增减性：,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,最值：,当,x,=,0,时，,y,取得最小值,y,最小值,=,c,增减性：,函数,y,=,ax,2,+,c,（,a,0,）的性质,平移：,由,y,=,ax,2,向上或向下,平移,c,个单位得到,开口方向：,对称轴：顶点坐标：,向下,y,轴,（,0,，,c,）,函数y=ax2+c（a0）的性质向下y轴（0，c）,增减性：,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小,最值：,当,x,=,0,时，,y,取得最大值,y,最大值,=,c,增减性：,1,.,二次函数,y,=,3,x,2,-,的图象与二次函数,y,=,3,x,2,的图象有什么关系？它是轴对,称图形吗？它的开口方向、对称轴、,顶点坐标分别是什么？画图看一看,.,2,.,二次函数,y,=-,2,x,2,-,的图象与二次函,数,y,=-,2,x,2,+,的图象有什么关系,?,随堂练习,1.二次函数y=3x2-的图象与二次函数随堂练习,y,=,3,x,2,y,=,3,x,2,-,1,.y,=,3,x,2,-,的图象：,由,y,=,3,x,2,的图象向下平移,个单位得到,开口方向：向上,对称轴：,y,轴,顶点坐标：（,0,，,-,）,y=3x2 1.y=3x2-的图象：,2,.y,=-,2,x,2,-,的图象：,由,y,=-,2,x,2,+,的图象向下平移,1,个,单位得到,y,=-,2,x,2,+,y,=-,2,x,2,-,2.y=-2x2-的图象：y=-2x2+,32,0,32,50,18,18,8,8,2,0,2,18,8,2,2,8,18,32,对于同一个,y,值，这两个函数对应的,x,值相差,1,（在对称轴同侧）,合作学习，探究三,画出二次函数,y,=,2,(,x,-,1,),2,的图象,（,1,）完成下表：,观察上表，你能发现,2,(,x,-,1,),2,与,2,x,2,的值有什么关系？,x,-,4,-,3,-,2,-,1,0,1,2,3,4,2,x,2,2,(,x,-1,),2,32032501818882021882281832,（,2,）画函数出,y,=,2,(,x,-1),2,的图象,y,=,2,x,2,y,=,2,(,x,-,1,),2,（2）画函数出y=2(x-1)2的图象y=2x2y=2(x-,y=,2,(,x,-,1,),2,的图象：由,y,=,2,x,2,的图象向右平移,1,个单位得到；开口方向：向上；,对称轴：直线,x,=1,；顶点坐标：（,1,0,）；,x,1,时，,y,随,x,的增大而减小，,x,1,时，,y,随,x,的增大而增大,.,二次函数,y,=2,(,x,-,1,),2,的图象与二次函数,y,=,2,x,2,的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当,x,取哪些值时，,y,的值随,x,值的增大而增大？当,x,取哪些值时，,y,的值随,x,值的增大而减小？,y=2(x-1)2的图象：由y=2x2的图象向右平移1个单位,y,=,2,(,x,+,1,),2,的图象：由,y,=,2,x,2,的图象向左平移,1,个单位得到,.,类似地，你能发现二次函数,y,=,2,(,x,+,1,),2,的图象与二次函数,y,=,2,x,2,的图象有什么关系吗？,y,=,2,(,x,+,1,),2,y,=,2,x,2,y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象,对于二次函数,y,=-,3,(,x,+,2,),2,：,（,1,）它的图象与二次函数,y,=-,3,x,2,的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？,（,2,）当,x,取哪些值时，,y,的随,x,值的增大而增大？当,x,取哪些值时，,y,的值随,x,值的增大而减小？,随堂练习：,对于二次函数y=-3(x+2)2：随堂练习：,（,1,）,y,=-,3,(,x,+2,),2,的图象：由,y,=-,3,x,2,的图象,向左平移,2,个单位得到；,它是轴对称图形；,开口方向：向下；,对称轴：直线,x,=,-,2,；,顶点坐标：（,0,-,2,）,.,(,2,),x,-,2,时，,y,随,x,的增大而增大，,x,-,2,时，,y,随,x,的增大而减小,.,（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象(2),由二次函数,y,=,2,x,2,的图象，你能得到二次函,数,y,=,2,x,2,-,，,y