,*,第二章 三类典型的偏微分方程,三类典型的偏微分方程,三类典型的偏微分方程,一根紧拉着的,均匀,柔软,弦，长为,l,，两端固定在,X,轴上,O,、,L,两点，当它在平衡位置附近做垂直于,OL,方向的,微小,横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。,O,L,x,y,2.1,波动方程,一维波动方程,最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。,一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、,讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：,确定弦的运动方程,（,2,）被研究的物理量遵循哪些物理定理？,牛顿第二定律,.,（,3,）按物理定理写出数学物理方程（即建立,泛定方程,）,要研究的物理量是什么？,弦沿垂直方向的位移,条件,：,均匀,柔软,的细弦，在平衡位置附近产生,振幅极小,的,横振动。,不受外力,影响。,研究对象,：,线上某点在,t,时刻沿垂直方向的位移。,讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题,简化假设：,由于弦是柔软的，弦上的任意一点的,张力沿弦的切线方向,。,在弦上任取一小段 它的弧长为：,由于假定弦在平衡位置附近做,微小振动,，很小，从而,可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中,保持不变,，与时间无关。即 点处的张力记为 。,由于振幅极小，,张力与水平方向的夹角很小,。,简化假设：由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的,横向：,其中：,作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据,牛顿运动定律,，写出它们的表达式和平衡条件。,也就是说，张力,是一个常数。,横向：,横向：其中：作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面,由,中值定理,：,纵向：,由中值定理：纵向：,一维波动方程,令：,-,非齐次方程,自由项,-,齐次方程,忽略重力作用：,a,就是弦的振动传播速度,一维波动方程令：-非齐次方程自由项-,假设外力在 处外力密度为：方向垂直于 轴。,等号两边用中值定理：并令,为单位质量在 点处所受外力。,当存在外力作用时：,等号两边除以,等号两边用中值定理：并令为单位质量在 点处所受外力。当存,弦振动方程中只含有两个自变量：。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为,一维波动方程,。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：,二维波动方程：,三维波动方程：,弦振动方程中只含有两个自变量：。由于它,建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。,由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象,能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，,使问题得到适度的简化。,总结：,建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。总结：,均匀杆的纵振动,考虑一,均匀细杆,，沿杆长方向作,微小,振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况,(,即偏移平衡位置位移,),完全相同。试写出杆的振动方程。,在任一时刻,t,，此截面相对于平衡位置的位移为,u(x,t),。,在杆中隔离出一小段,(,x,x,+d,x,),，分析受力：,均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振,通过截面,x,，受到弹性力,P(x,t)S,的作用,通过截面,x+dx,受到弹性力,P(x+dx,t)S,的作用,P(x,t),为单位面积所受的弹性力,(,应力,),，沿,x,方向为正,根据,Newton,第二定律，就得到：,根据胡克定律,通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用根据Newton第,静止空气中一维微小压力波的传播,设,为空气的密度，,u,为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：,动力学方程,连续性方程,物态方程,考虑到微小压力波，,u,是一阶小量，是二阶小量,静止空气中一维微小压力波的传播设为空气的密度，u为压力,代入,得,对,t,求导，得,利用,得,一维声波方程。,代入得对t求导，得利用得一维声波方程。,静止空气中三维声波方程,微幅水波动方程,式中：,水面,波高,为,为声波速度,水波,速度,为,静止空气中三维声波方程 微幅水波动方程式中：水,2.2,扩散方程,问题,：一根长为,l,的,均匀导热,细杆，截面为一个单位面积。,侧面绝热,，,内部无热源,。其热传导系数为,k,，比热为,c,，线密度为,。求杆内温度变化的规律。,A,B,一维热传导方程的推导,热传导现象,：,当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有,热量从高温处流向低温处。,2.2 扩散方程 问题：一根长为l,所要研究的,物理量,：,分析,：设杆长方向为,x,轴，考虑杆上从,到,的一段,(,代表,),，,设杆中温度分布为,满足,的物理规律：,均匀物体,：,物体的,密度,为常数,各向同性,：,物体的,比热和热传导系数,均为常数,假设,条件：,所要研究的物理量：分析：设杆长方向为 x 轴，考虑杆上从到的,利用,Fourier,热力学定律,和,能量守恒定律,来建立热传导方程。,由,Fourier,热力学定律,，单位时间内通过,A,端面的热量为：,单位时间内通过,B,端面的热量为：,利用 Fourier 热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方,在,dt,时段内通过微元的两端流入的热量,在任意时段,内，,同时在此时段内,微元内各点的温度由,流入微元的热量,升高为,在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量 在任意时段内，同时,为此所需的热量为,由,能量守恒定律,可得：,由,和,的任意性可得,为此所需的热量为由能量守恒定律可得：由和的任意性可得,即：,其中,内部有热源的情况：,其中,分析,：设热源强度,(,单位时间在单位长度中产生的热量,),为,F,(,x,t,),，代表段的吸热为,Fdxdt,。,即：其中 内部有热源的情况：其中 分析：设热,根据热学中的,傅立叶定律,在,d,t,时间内从,d,S,流入,V,的热量为：,从时刻,t,1,到,t,2,通过,S,流入,V,的热量为,高斯公式,（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）,热场,三维热传导方程的推导,根据热学中的傅立叶定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时,流入的热量导致,V,内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量为：,三维热传导方程,热场,有热源三维热传导方程,流入的热量导致V 内的温度发生变化 流入的热量：温度发生变,一维浓度扩散方程,动量输运方程,C,为物质浓度，,为扩散系数。,u,为速度，,f,x,为流体体积力，,为流体粘性系数。,显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用,同一类型方程,来描述。,一维浓度扩散方程 动量输运方程C为物质浓度，为扩散系,2.3,稳态方程,(,调和方程,),稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。,热传导问题，控制方程为：,设场内热源为稳态的，即为,f(x,y,z),流场温度不随时间变化，即,T=T(x,y,z),则有,2.3 稳态方程(调和方程)稳态问题也是自,这就是稳态方程，称为泊松方程。,如果场内无热源，,g(x,y,z,t)=0,，则有：,这个方程又称为拉普拉斯方程。,其中：,这就是稳态方程，称为泊松方程。如果场内无热源，g(x,y,又如在理想势流场中，存在速度势,(,x,y,z,),，速度与,(,x,y,z,),的关系为：,带入连续方程中,由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征稳态问题的控制方程。,得,又如在理想势流场中，存在速度势(x,y,三类典型的偏微分方程,振动与波（振动波，电磁波）传播满足,波动方程,热传导问题和扩散问题满足,热传导方程,静电场和引力势满足,拉普拉斯方程或泊松方程（稳态方程）,三类典型的偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方,