线性代数,数学与统计学院,第一节 行列式的概念,一 二阶行列式,四 小结,二 三阶行列式,三 n阶行列式,五 思考,用消元法解二元线性方程组,两式相减消去 ，得,一、二阶行列式,1、,引入,类似的，消去 ，得,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,当,时，,2、,定义,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排,所确定的表达式,称列）的数表,称为,二阶行列式,，记为,主对角线,副对角线,假设记,对于二元线性方程组,系数行列式,3、,计算,对角线法那么,行标,列标,记,记,那么二元线性方程组的解为,系数行列式,今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？,例1,解：,牛羊分别直,金，记,假设系数行列式,1、,引入,那么,二、三阶行列式,三元一次方程组,2、,定义,6式称为数表5所确定称为三阶行列式.,记为,构成数表,5,6,确定一个表达式，,由九个数排成三行三列横排称行、竖排称列,三元一次方程组,2)沙路法,3、,计算,1)对角线法那么,以上两种方法只适用于,二阶,与,三阶,行列式.,解,按对角线法那么，有,例2,求行列式,解,按对角线法那么，有,例3,求解方程,所以,例4,解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式为,且,同理可得,故方程组的解为:,其中 为将系数行列式的第,i,列分别用常数项来代替而得的新的行列式.,1、,概念的引入,三、,n,阶行列式,二阶行列式,三阶行列式,二元一次方程组,三元一次方程组,n,阶行列式,n,元一次方程组,2、,定义,由 个数组成,n,阶行列式(,Determinant,)定义如下：,记作：,简记作,，数 称为行列式的,元素,.,如何计算,n,阶行列式,?,余子式,与,代数余子式,记作：,n-,1阶行列式,定义：,划去,n,阶行列式,D,中第,i,行与第,j,列后剩下的,代数余子式.,称为元素 的,余子式,，,A,ij,=,(-1),i+j,M,ij,称为元素 的,注意,余子式,与,代数余子式,的差别,3、,n,阶行列式的计算,n,阶行列式,的计算公式：,定义：,上式可以看做是对,D,按第一列展开的降阶计算公式。,说明：,能否按,其他列,展开计算,？,定理：,按第,j,列展开的计算公式：,证明略,说明,1、,行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；,2、,阶行列式是 项的代数和；,3、,阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积；,5、,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.,的符号为 ；,4、,每项,例6,计算行列式,1,2,分析,1显然得,2,例7,计算行列式,1,2,分析,1上三角行列式,2,例8,计算行列式,1,2,3,4,几种特殊的行列式,这一系列格式行列式的值为,这一系列格式行列式的值为,几种特殊的行列式,例10,解,例9,用行列式的定义计算,解,四、小结,五、思考题,求：,x,3,项的系数,答案：,-1,