单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,*,一、矩阵的初等变换,二、,矩阵的初等矩阵,8.2,矩阵的标准形,三、,等价矩阵,四、,矩阵的对角化,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,矩阵的,初等变换,是指下面三种变换:,矩阵两行列互换位置；,矩阵的某一行列乘以非零常数 c；,是一个多项式.,矩阵的某一行,（列）,加另一行,（列）,的 倍，,一、,矩阵的初等变换,定义,：,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,代表第 行乘以非零数,c,；,代表把第 行,(列),的 倍加到第,为了书写的便利，我们承受以下记号,代表 两行,(列),互换；,注：,行,(列).,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的,矩阵称为 矩阵的,初等矩阵,.,二、,矩阵的初等矩阵,定义,：,注：,全部初等矩阵有三类：,i,行,j,行,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,i,行,j,行,i,行,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,初等矩阵皆可逆.,对一个 的 矩阵 作一次初等行变换,就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩,阵；对 作一次初等列变换就相当于在,的右,边乘上相应的 的初等矩阵.,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,为矩阵 ，则称 与 等价.,矩阵 若能经过一系列初等变换化,1),矩阵的等价关系具有:,反身性:与自身等价.,对称性:与 等价 与 等价.,传递性:与 等价,与 等价,与 等价.,三、等价,矩阵,定义,：,性质,：,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,2),与 等价 存在一系列初等矩阵,使,1.（,引理,）,设 矩阵 的左上角元素,且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定,可以找到一个与 等价的矩阵,，,它的左上,角元素,，,且 .,四、,矩阵的对角化,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,证：根据 中不能被 除尽的元素所在的,位置，分三种情形来争论:,i),若在 的第一列中有一个元素 不能被,除尽，,其中余式,，,且,对 作下列初等行变换:,则有,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,的左上角元素 符合引理的要求,，,故 为所求的矩阵.,ii),在 的第一行中有一个元素 不能被,除尽，这种状况的证明i)与类似.,iii),的第一行与第一列中的元素都可以被,除尽，但 中有另一个元素,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,被 除尽.,对 作下述初等行变换:,我们设,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,矩阵 的第一行中，有一个元素：,不能被左上角元素 除尽，转为情形,ii),.,证毕.,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,2.（,定理,2,）,任意一个非零的 的 一矩阵,都等价于以下形式的矩阵,其中,是首项系数为,1,的,多项式，且,称之为,的,标准形,.,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,证:经行列调动之后，可使 的左上角元素,若 不能除尽 的全部元素，,由引理，可以找到与 等价的 ，且,由引理，又可以找到与,等价的 ，且,如此下去，将得到一系列彼此等价的,矩阵：,左上角元素 ，,若 还不能除尽 的全部元素，,左上角元素 ，,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,但次数是非负整数，不行能无止境地降低.,因此在有限步以后，将终止于一个,矩阵,它的左上角元素,，,而且可以除尽,的全部元素 即,对 作初等变换:,它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,中的全部元素都是可以被 除尽的，,因为它们都是 中元素的组合.,如果,，,则对于 可以重复上述过程，,进而把矩阵化成,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,其中 与 都是首,1,多项式,(,与,只差一个常数倍数），而且,能除尽 的全部元素.,如此下去，最后就化成了标准形.,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,例,用初等变换化,矩阵为标准形.,解：,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,即为 的标准形.,8.2 矩阵的标准形,矩阵的标准形,