燕山大学机械工程学院,School of Mechanical Engineering,Yanshan University,从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是自然的。,同有限自由度系统一样，连续系统也存在固有振型的正交性这一重要的特性。,在一些复杂情况下，振型函数还包含双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。,3.5,振型函数的正交性,仅以梁弯曲振动的振型函数论证其正交性。,从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它,设,Y,r,(,x,)和,Y,s,(,x,)分别代表对应于,r,阶和,s,阶固有频率,r,和,s,的两个不同阶的振型函数，代入上式得,梁横向振动的振型函数方程为,(1),(2),用,Y,s,(,x,)乘方程(1)，并在梁全长上进行积分,用,Y,r,(,x,)乘方程(2)，并在梁全长上进行积分,设Yr(x)和Ys(x)分别代表对应于r阶和s阶固有,(1),(1),(2),用,Y,r,(,x,)乘方程(2)，并在梁全长上进行积分。同理可得,(2)用Yr(x)乘方程(2)，并在梁全长上进行积分。同理可,经过变换后得如下两个方程,(3),(4),两式左右对应相减,经过变换后得如下两个方程(3)(4)两式左右对应相减,注意:上式右边是,x,=0和,x,=,L,的端点边界条件。对于固支端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都等于零。,将上面两式相减得,注意:上式右边是x=0和x=L的端点边界条件。对于固支端、铰,因此，上述方程可以简化为,按照假设，,Y,r,(,x,)和,Y,s,(,x,)是对应于不同固有频率的振型函数(,r,s,，,r,s,)，由此得出,显然，振型函数,Y,r,(,x,)和,Y,s,(,x,)对于质量,(,x,),A,(,x,)是正交的，这就是简单支承条件下梁振型函数对于质量的正交性条件。,因此，上述方程可以简化为 按照假设，Yr(x)和Y,振型函数对于刚度,EJ,(,x,)的正交性,代入式(3),将振型函数对于质量,(x),A,(x)的正交性关系,(3),当,r,s,时,，0,振型函数对于刚度EJ(x)的正交性代入式(3)将振型函数对于,对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的梁，振型函数对于刚度,EJ,(,x,)的正交条件表示为,由此可见，梁弯曲振动振型函数对刚度,EJ,(,x,)的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。,对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的梁，,设,Y,r,(,x,)和,Y,s,(,x,)为正则振型函数，则有,式中,rs,为克朗尼格,符号。,振型函数的正则化,用途：对振型函数正则化，确定正则化系数,设Yr(x)和Ys(x)为正则振型函数，则有式中rs为克朗,考虑如下关系,可得,可按以上两式对振型函数正则化。,(3),考虑如下关系可得可按以上两式对振型函数正则化。(3),在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。,利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的固有坐标运动方程，从而使多自由度系统的响应分析问题可以按多个单自由度系统的问题分别加以处理。,3.6,连续系统的响应,振型叠加法,在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。利用系统的振型矩,多自由度离散系统振动微分方程,：,离散系统响应求解方法振型叠加法,多自由度离散系统的自由振动,：,特征矩阵：,振型方程：,固有频率方程：,求出,n,个固有频率,求出,n,个振型向量,多自由度离散系统振动微分方程：离散系统响应求解方法振型叠,振型矩阵,：,离散系统响应求解方法振型叠加法,对角矩阵,振型矩阵的正交性,：,正则振型矩阵,：,振型矩阵：离散系统响应求解方法振型叠加法对角矩阵振型矩阵,离散系统响应求解方法振型叠加法,正则振型矩阵的正交性,：,正则坐标变换：,对于比例阻尼，上述运动微分方程完全解耦；,对于一般阻尼，假设阻尼矩阵非对角元素为0，运动微分方程解耦!,离散系统响应求解方法振型叠加法正则振型矩阵的正交性：正则,经过坐标变换后，就可以把连续系统按一系列单自由度系统的形式来处理，可以方便地得出系统对初始激励、外部激励的响应；也可以求出系统对初始激励、外部激励的共同响应。,只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振型函数的正交性，就可以将系统物理坐标的偏微分方程变换成一系列固有坐标的二阶常微分方程组。,对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似的方法来分析系统的响应。,经过坐标变换后，就可以把连续系统按一系列单自由度系统的形式,以梁的弯曲振动为例，说明振型叠加法在连续系统中的应用。,设梁的弯曲刚度为,EJ,(,x,)，单位体积质量为,(,x,)，横截面积为,A,(,x,)，分布激励载荷为,f,(,x,t,)。,梁的弯曲振动微分方程为,这是非齐次偏微分方程，其全解包含两部分：一部分是对应于齐次方程的通解，相当于自由振动的解；另一部分是对应于非齐次项的特解，即受迫振动的响应。当给定激励函数,f,(,x,t,)时，可求得激励的响应。,以梁的弯曲振动为例，说明振型叠加法在连续系统中的应用。设,设在给定边界条件下的固有频率为,r,，相应的振型函数为,Y,r,(,x,)，引进正则坐标,q,r,(,t,)，根据振型叠加法，可将梁横向振动偏微分方程和给定边界条件的解,y,(,x,t,)变换为,将上式代入梁横向振动的偏微分方程,可得,设在给定边界条件下的固有频率为r，相应的振型函数为Yr(,上述方程两边同时乘以,Y,s,(,x,)，并在整个区间(0,x,L,)内积分，根据正交条件，得相互独立的常微分方程组为,式中,Q,r,(,t,)定义为对应于正则坐标,q,r,(,t,)的广义力。,(1),方程(1)和受外部激励的无阻尼单自由度系统运动微分方程的形式完全相同，故其响应可写成如下的一般形式,上述方程两边同时乘以Ys(x)，并在整个区间(0 x,L,/,v,，,Q,r,(,t,)=0，梁作自由振动，自由振动初始条件是,q,r,(,L,/,v,)与 ，便可得到自由振动的解。,梁的响应为当tL/v，Qr(t)=0，梁作自由振动，自由振,连续系统共振破坏实例,近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给我们留下的教训就显得非常深刻。,1940年7月1日美国西海岸华盛顿州建成了一座当时位居世界第三的Tacoma大桥。大桥中央跨距为853.4 m，全长1810.56 m，桥宽11.9 m，梁高为1.3 m，为悬索桥结构，设计可以抗60 m/s 的大风。但不幸的是大桥刚建成4个月后(1940年11月7日)就在19 m/s的小风吹拂下整体塌毁。,连续系统共振破坏实例 近代工程上许多因共振造成的灾难,美国华盛顿州Tacoma悬索桥,美国华盛顿州Tacoma悬索桥,振动形式：横向振动、扭转振动,振动形式：横向振动、扭转振动,复杂系统动力学仿真实例：,游梁式抽油系统动力学仿真。,系统描述：,系统边界、系统组成；研究目的；系统简化。,力学模型：,地面装置力学模型；,井下装置力学模型。,复杂系统动力学仿真实例：游梁式抽油系统动力学仿真。系统描述：,1、力学模型,地面装置力学模型,力学模型,井下装置力学模型,单自由度系统力学模型,两自由度系统力学模型,多自由度系统力学模型,离散连续混合系统动力学模型,纵向振动,力学模型,三维振动,力学模型,抽油杆柱纵向振动力学模型,杆液耦合纵向振动力学模型,杆管液耦合纵向振动力学模型,抽油杆柱三维振动力学模型,杆液三维耦合振动力学模型,杆管液三维耦合振动力学模型,地面装置单自由度+抽油杆柱纵向振动力学模型,1、力学模型地面装置力学模型力学模型井下装置力学模型单自由度,2、数学模型,(1)曲柄运动规律数学模型,M,e,M,e,(电动机机械特性、地面运动件重力、运动副摩擦、传动机构速比、悬点载荷,PRL,),2、数学模型(1)曲柄运动规律数学模型Me Me(电动机机,抽油系统示意图,(2)抽油杆柱纵向振动数学模型,抽油系统示意图(2)抽油杆柱纵向振动数学模型,抽油杆柱纵向振动的力学模型：弹簧固定于基础之上，基础按悬点运动规律上下往复运动。,抽油杆柱任意截面的运动可以分解成两部分：一是该截面随悬点的运动；二是该截面相对于悬点的运动。抽油杆柱底端受轴向力,P,P,(t),。,杆柱运动微分方程为:,集中力的表示方法,抽油杆柱纵向振动的力学模型：弹簧固定于基础之上，基础,3、数值仿真模型,(1)曲柄运动规律的数值仿真模型,3、数值仿真模型(1)曲柄运动规律的数值仿真模型,(2)杆柱纵向振动的数值仿真模型,设固有频率为,r,，正则振型函数为,U,r,(,x,)，正则坐标,q,r,(,t,)。根据振型叠加法，杆柱纵向振动偏微分方程的解,u,(,x,t,)变换为,常微分方程组中含有:,(2)杆柱纵向振动的数值仿真模型设固有频率为r，正则振型,振型函数的正交性与连续系统的响应振型叠加法解析ppt课件,曲柄运动微分方程中含,PRL,曲柄运动微分方程中含 PRL,