单击此处编辑母版标题样式,*,39 曲 率,一、,弧微分,二、,曲率及其计算公式,三、,曲率圆与曲率半径,有向弧段的值、,弧微分公式,曲率、,曲率的计算公式,曲率圆曲率半径,一、弧微分,s,的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的,正向一致时,s,0，,相反时,s,0,x,y,O,M,0,x,0,M,x,s,0,显然，弧,s,是,x,的函数：,s,s,(,x,)，,而且,s,(,x,),是,x,的单调增加函,数,设,x,，,x+,D,x,为(,a,，,b,),内两个邻近的点，它们在曲线,y,f,(,x,),上的对应点为,M,，,M,，,并设对应于,x,的增量,D,x,，,弧,s,的增,量为,D,s,，,于是,下面来求,s,(,x,),的导数及微分,M,0,M,M,x,0,x,x,+,D,x,D,x,D,y,x,y,O,D,s,1，,因为,因此,由于,s,s,(,x,),是单调增加函数，从而,于是,ds,这就是弧微分公式,),j,M,1,M,2,N,1,N,2,观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：,二、曲率及其计算公式,可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均,弯曲程度，,M,0,M,M,D,s,Da,x,y,O,a,+,Da,),a,),s,C,设曲线,C,是光滑的，曲线,线,C,上从点,M,到点,M,的弧,为,D,s,，,切线的转角为,D,a,平均曲率：,曲率：,曲率的计算公式：,设曲线的直角坐标方程是,y,f,(,x,)，,且,f,(,x,),具有二阶导数,于是,从而，有,因为,tan,a,y,，,所以,例1,计算等双曲线,x,y,1,在点(1，1)处的曲率,解,因此，,y,|,x,1,1，,y,|,x,1,2,曲线,x,y,1,在点(1，1)处的曲率为,例2,抛物线,y,ax,2,bx,c,上哪一点处的曲率最大？,解 由,y,ax,2,bx,c,，,得,y,2,ax,b,，,y,2,a,，,代入曲率公式，得,要使,K,最大，只须2,ax,b,0，,抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为,K,|2,a,|,对应的点为,2若曲线由参数方程,给出，那么曲率如何计算？,1直线上任一点的曲率等于什么？,讨论：,提示：设直线方程为,y,=,ax,+,b,，,则,y,=,a,，,y,=0,于是,提示：,曲线在点,M,处的曲率,K,(,K,0),与曲线在点,M,处的曲率半径,r,有如下关系：,曲线在,M,点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,M,y,=,f,(,x,),x,y,O,D,r,曲线在,M,点的曲率半径,曲线在,M,点的曲率圆,例3,设工件表面的截线为抛物线,y,04,x,2,现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？,4,2,O,2,x,y,y,=04,x,2,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,例3,设工件表面的截线为抛物线,y,04,x,2,现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适？,y,08,x,，,y,08，,y,|,x,0,0，,y,|,x,0,08,抛物线顶点处的曲率半径为,所以选用砂轮的半径不得超过125单位长，即直径不得超过,250单位长,08,把它们代入曲率公式，得,