Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,*,第五章 弯曲应力,上一讲回顾,力学基础：,梁微段的平衡,几何意义：,线性看微分，段值看积分，q值确定凹凸性。,根据数学函数画剪力弯矩图,利用微分关系的几何意义画剪力弯矩图,分析步骤：,建立坐标,分段建立剪力、弯矩方程,画剪力弯矩图,求支反力,F,s,图:,斜率,q,=常数,F,s,直线;,q,0,上斜;,q,0,上斜；,F,s,0处,M,图凹;,q,0处,M,图凸(喻:雨伞),校核:,两图右边回零点.,分析步骤,：,求特征截面的剪力、弯矩值,根据微分关系，确定各段曲线的形状,根据剪力、弯矩图的封闭性，,校核,求支反力,跟着箭头走先求支反力，从左往右去。,根据剪力图，两点对一段；若遇外力偶，顺上逆下走。,2,第2页，共41页。,变形,强度准则,外力,杆件,内力,应力,应变,材料性能,材料力学分析的基本路径,3,第3页，共41页。,F,F,(1),(2),若梁的横截面积相同,(1)，(2),两种情况那种情况对梁承载有利？,4,第4页，共41页。,5-2 弯曲正应力,第五章 弯 曲 应 力,5-1,引言,附录,A,截面几何性质,5,第5页，共41页。,5-1,引言,伽利略指出：,如果杆件断裂，断口将发,生在,根部A-B,部位，,原因：,固接的边缘充当施力杠杆BC的支点，而杆的厚度BA则是杠杆的另一臂，沿BA作用有抗力。此抗力阻止墙内部分与墙外部分BD分离,P,B,C,A,6,第6页，共41页。,建立了“实验观测假设 分析与推导”的现代科学研究方法,受当时实验条件的局限,静力不平衡19世纪初才由L.Poinsot以静力学公理明确阐明刚体上力系的简化与平衡,伽利略开创性研究的评述,1.局限性,2.开创性,P,B,C,A,7,第7页，共41页。,下图公式中S应由S/2代替，离正确结论仅一步之差。,结论：矩心位置无关紧要。,马略特（1680）的研究,P,设 ，以,B,点为矩心,中图：,下图：,D,为矩心，,P,B,发现有的纤维拉伸，有的纤维压缩,P,D,B,8,第8页，共41页。,寻找横截面上的应力分布最简单的弯曲变形模式作为研究对象,分段建立剪力、弯矩方程,思考：下列计算是否正确(C为截面形心)?,1、截面对o点的极惯性矩或二次极矩,内力变形或内力应力关系：,几何意义：线性看微分，段值看积分，q值确定凹凸性。,静力不平衡19世纪初才由L.,例：求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩,细长梁的非纯弯曲（下节讨论）,答：不正确，因为 Z1 不是形心轴。,轴的惯性矩,下图公式中S应由S/2代替，离正确结论仅一步之差。,(1)，(2)两种情况那种情况对梁承载有利？,F,s,M,弯曲正应力,弯曲切应力,F,S,M,梁,弯曲时横截面上的内力和应力,5-2 对称弯曲正应力,弯曲正应力,弯曲切应力,9,第9页，共41页。,2、截面对z轴或y轴的惯性矩或二次轴矩,研究思路静不定问题的分析方法,分段建立剪力、弯矩方程,纯弯曲：梁或梁段各横截面剪,A-2 极惯性矩 惯性矩,利用微分关系的几何意义画剪力弯矩图,力为零、弯矩为常数。,5-2 弯曲正应力,两轴间距离平方与截面积的乘积。,梁具有纵向对称截面，且在纵向对称面内承受横向外力（或外力的合力）时的受力与变形形式。,y轴为对称轴，惯性积为0.,发现有的纤维拉伸，有的纤维压缩,马略特（1680）的研究,答：不正确，因为 Z1 不是形心轴。,例 已知：钢带厚d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。,对称弯曲,纯弯曲,寻找横截面上的应力分布最简单的弯曲变形模式作为研究对象,+,外力作用在纵向对称面上,横截面上只有弯矩,纵向对称面,M,M,对称弯曲与纯弯曲,10,第10页，共41页。,对称弯曲：,梁具有纵向对称截面，且在纵向对称面内承受横向外力（或外力的合力）时的受力与变形形式。,11,第11页，共41页。,纯弯曲,纯弯曲,：梁或梁段各横截面剪,力为零、弯矩为常数。,横力弯曲：,既有剪力又有弯矩。,12,第12页，共41页。,对称纯弯曲的弯曲正应力分析,横截面上的内力与应力的关系：,弯曲应力问题是一个,静不定问题,dA,M,问题关键确定应力在横截面上的分布，How？,13,第13页，共41页。,研究思路静不定问题的分析方法,几何、物理、平衡,三方面分析,1、几何方面,观察外部变形,假设内部变形,建立几何方程,（应变分布）,应力分布,物理方程,2、物理方面,应力公式,静力方程,3、平衡方面,14,第14页，共41页。,实验,观察,外部变形观察结果：,横线：,仍为直线,仍与纵线正交,两横线相对转动,纵线：,变为曲线,上缩短，下伸长,1、平面假设：,变形后，横截面仍为平面，,且仍与纵线正交,2、单向受力假设：,梁内各纵向纤维仅受轴向应力,内部变形,一、实验观测与基本假设,横截面：,缩短区宽度增加，,伸长区宽度减小。,15,第15页，共41页。,推论,：,一侧伸长，一侧缩短,存在既不伸长，也不缩短的面,M,M,中性层,中性层,中性轴,中性轴截面纵向对称轴,变形过程中横截面间绕中性轴相对转动,中性层,中性轴,16,第16页，共41页。,1.几何方面,考察线段,ab,的变形：,变形前：,变形后：,二、弯曲正应力一般公式,y,z,中性轴,d,q,r,a,b,dx,中性层,a,b,y,o,1,o,2,17,第17页，共41页。,2.,物理,方面,由胡克定律和单向受力假设：,y,偏离中性轴的坐标值（坐标原点位于中性轴）,r,中性层的曲率半径,中性轴位置,？,r,的大小,?,18,第18页，共41页。,3.静力学方面,定义：,确定中性轴位置,（过形心）,确定中性层的曲率半径,y轴为对称轴，惯性积为0.,M,s,dA,z,y,19,第19页，共41页。,结 论,：,应力分布,c,max,t,max,三、最大弯曲正应力,定义,（抗弯截面系数）,20,第20页，共41页。,截面,典型截面的惯性矩与抗弯截面系数,各种标准型钢的惯性矩与抗弯截面系数可查手册,21,第21页，共41页。,小结,中性轴过截面形心,中性轴位置：,正应力公式：,中性层曲率：,对称弯曲与纯弯曲,应用条件：,细长梁的非纯弯曲（下节讨论）,22,第22页，共41页。,例,已知,：,钢带厚,d,=,2mm,宽,b,=6mm,D=,1400mm,E=,200GPa。,计算：,带内的,s,max,与,M,。,解,：,1.,问题分析,应力变形 关系：,内力变形或内力应力关系：,已知,r,=(D+,d,)/2,E,截面尺寸，可应用下述关系求应力与内力,或,23,第23页，共41页。,2.应力计算,3.弯矩计算,或,24,第24页，共41页。,附录,A,截面几何性质,截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。,拉压,：,扭转：,弯曲：,A,I,P,W,P,I,z,W,z,表征截面几何性质的量,回顾：,我们已经学习了哪些截面的几何性质？,受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，,而且与截面的几何性质也相关。,25,第25页，共41页。,A-1 静矩与形心,一、静矩,z,y,o,y,z,dA,积分：,分别称为对坐标轴,z,和,y,的静矩或一次矩。,静矩的量纲：,同一图形对不同的坐标轴，静矩不同。,静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。,单位：,m,3,或,mm,3,26,第26页，共41页。,二.形心,回顾理论力学的质心计算公式：,z,y,o,y,z,dA,C,z,c,y,c,均质等厚薄板质心位于中面形心,静矩,：,或,如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为,形心轴。,形心轴,：通过截面形心的坐标轴。,27,第27页，共41页。,三、组合截面的静矩与形心,z,y,o,A,1,A,2,A,3,组合截面对某轴的静矩各个组合部分对同一轴静矩之和。,组合截面的形心,28,第28页，共41页。,z,y,o,A,1,A,2,负面积法,图形中挖去一块面积，计算时可把,看成负面积,29,第29页，共41页。,例：,确定下图所示截面的形心位置.,60,10,50,10,y,z,A,1,A,2,解：,将截面分为两部分，利用组合截面的公式：,30,第30页，共41页。,A-2,极惯性矩 惯性矩,z,y,o,y,z,dA,r,1、截面对o点的极惯性矩或二次极矩,2、截面对z轴或y轴的惯性矩或二次轴矩,3、一个恒等式,图形对任意一对互相垂直的轴的惯性矩之和,等于它对该两轴交点的极惯性矩。,31,第31页，共41页。,F,F,(1),(2),若梁的横截面积相同，,(1)、(2),两种情况那种情况对梁承载有利？,y,z,y,dA,dy,h/2,h/2,b/2,b/2,c,矩形截面,32,第32页，共41页。,D,z,c,y,y,dy,R,b,z,c,y,y,dy,2h/3,h/3,b(y),圆形截面,三角形截面,D,z,c,y,d,空心圆截面,33,第33页，共41页。,二、惯性矩的平行移轴定理,Cy,0,z,0,形心直角坐标系,Oyz,任意直角坐标系,二者平行,同理:,一、简单截面惯性矩,截面对任意坐标轴z的惯性矩等于,对其形心轴Z,o,的惯性矩I,zo,，加上,两轴间距离平方与截面积的乘积。,A-3 惯性矩的平行轴定理,34,第34页，共41页。,三、,组合截面的惯性矩,z,y,o,A,1,A,2,A,3,组合截面对任一轴的惯性矩，等于,各组成部分对同一轴的惯性矩之和。,35,第35页，共41页。,例：,求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩,y,z,100,100,10,10,20,20,1、求全截面形心轴位置,2、求对各部分自身形心,轴的惯性矩,A,4,A,1,A,2,A,3,z,0,解：,方法一，如图将截面划分四块,3、求对全截面形心轴惯性矩,方法二：负面积法。,自行完成,36,第36页，共41页。,思考：,下列计算是否正确(C为截面形心)?,答：不正确，因为,Z,1,不是形心轴。,C,a,b,37,第37页，共41页。,求截面,B-B,上的最大拉/压应力,例,2,解：,步骤1、求解,B-B,截面上的弯曲内力:,弯矩:,M,B,=F,L=6000 Nm,剪力:,F,S,=15 kN,38,第38页，共41页。,步骤3:计算截面对中性轴,z,的惯性矩,步骤2:建立临时坐标系,确定截面,B-B的,形心和中性轴,z,的位置(,y,c,),步骤4:依据弯曲正应力公式,计算最大拉/压应力,39,第39页，共41页。,作业,5-3,5-5,5-6,40,第40页，共41页。,谢谢,41,第41页，共41页。,