,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一.数学期望的定义,例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：,分数 40 60 70 80 90 100,人数 1 6 9 15 7 2,数学期望描述随机变量取值的平均特征,返回,下页,上页,则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,一.数学期望的定义例1 设某班40名学生的概率统计成绩,1,定义4.1,设,X,是离散型随机变量，它的分布律是:,P,(,X,=,x,k,)=,p,k,k,=1,2,上页,下页,返回,定义4.1 设X是离散型随机变量，它的分布律是:,2,例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,返回,下页,上页,例3 某厂生产的产品中，25%是一等品，50%是二等品，15%是三等品，10%是次品。如果每件一，二，三等品分别获利5、4、3元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每件产品获利多少元？,解 设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变量，其分布律为,X,p,i,-2 3 4 5,0.1 0.15 0.5 0.25,例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,3,定义 4.2 设X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x),-,x,则称,为随机变量X的,数学期望,。,所以,E(X)=(-2),x,0.1+3,x,0.15+4,x,0.5+5,x,0.25=3.5,即每生产一件产品平均获利3.5元。,上页,下页,返回,定义 4.2 设X是连续型随机变量，其概率密度函数为,4,例4.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为,试求E(X).,解,返回,下页,上页,例4.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X,5,例5：设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量,Y=X,2,的数学期望,X,P,k,-1 0 1,Y,P,k,1 0,4.1.2.随机变量函数的期望,返回,下页,上页,例5：设随机变量X的分布律为解:求随机变量Y=X2的数学期望,6,定理1 设X是离散型随机变量,它的分布律,PX=x,k,=p,k,k=1,2,则Y=g(X)（g是连续实函数）,若,g(x,k,)p,k,绝对收敛，则Y,的期望,E(g(X),为,推论:设(X,Y)是二维离散型随机变量，它们的联合分布律为,PX=x,i,Y=y,j,=p,ij,i,j=1,2,则,Z=g(X，Y)的期望,返回,下页,上页,定理1 设X是离散型随机变量,它的分,7,例6 设随机变量(X,Y),的分布律如下，求,E(XY),解:,返回,下页,上页,例6 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)解:返回,8,定理2 设X是连续型随机变量，它的概率密度为,f(x),Y=g(X)(g是连续实函数),若,绝对收敛，则,Y=g(X)的,期望,推论,设(X,Y)是二维连续型随机变量，它的概率密度为,f(x,y),Z=g(X,Y),(g是连续实函数),绝对收敛,则,Z=g(X,Y)的,期望,返回,下页,上页,定理2 设X是连续型随机变量，它的概率密度为,9,例7 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则,=10分25秒,返回,下页,上页,0,10,30,55,60,例7 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘,10,例8 设X服从N(0，1)分布，求E(X,2,),E(X,3,),E(X,4,),返回,下页,上页,例8 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),11,返回,下页,上页,返回下页上页,12,1.E(c)=c,c为常数;,2。E(cX)=cE(X),c为常数;,4.1.3.数学期望的性质,证明:设Xf(x),则,返回,下页,上页,1.E(c)=c,c为常数;4.1.3.数学期望的性质证明,13,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);,证明:设(X,Y)f(x,y),返回,下页,上页,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);证明:设(X,Y),14,4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,证明:设(X,Y)f(x,y),返回,下页,上页,4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明:设,15,例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数,解:设X,j,为第j组的化验次数，,X,j,P,j,1 101,X为1000人的化验次数，则,返回,下页,上页,例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,16,返回,下页,上页,返回下页上页,17,例10 若XB(n,p),求E(X),解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,返回,下页,上页,例10 若XB(n,p),求E(X)解:设第i次试验事件A,18,例11 若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除去。试用下面两种方法取求试开次数X的数学期望,。,（1）写出X的分布律；,（2）不写出X的分布律；,解,例11 若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有一把能打开门,19,精品课件,！,精品课件！,20,精品课件,！,精品课件！,21,而,所以,而所以,22,