,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.1-1.1.2,命题与四种命题,高二数学 选修,2-1,第一章 常用逻辑用语,歌德是,18,世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家,“,狭路相逢,”,，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高地往前走。一边大声说道：,“,我从来不给傻子让路！,”,而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道,“,呵呵，我可恰恰相反，,”,结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。,你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？,第一章,常用逻辑用语,“,数学是思维的科学,”,逻辑是研究思维形式和规律的科学,.,逻辑用语是我们必不可少的工具,.,通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性,.,命题及其关系,1.1.1,命题,思考,下列语句的表述形式有什么特点,?,你能判断,它们的真假吗,?,（,1,）,125;,（,2,）,3,是,12,的约数,;,（,3,）,0.5,是整数,;,（,4,）对顶角相等,;,（,5,）,3,能被,2,整除,;,（,6,）若,x,2,=1,则,x=1.,语句都是陈述句，,并且可以判断真假。,命题的概念,用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。,判断为真的语句叫做真命题。,判断为假的语句叫做假命题。,理解：,1,）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准 必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。,2,）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。,（,1,）,125;,（,2,）,3,是,12,的约数,;,（,3,）,0.5,是整数,;,（,4,）对顶角相等,;,（,5,）,3,能被,2,整除,;,（,6,）若,x,2,=1,则,x=1.,用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题,？,7,是,23,的约数吗,?,X5.,-2a3,。,x4,。,看看下列语句是不是命题？,不是（疑问句）,不是（疑问句）,不是（感叹句）,是（否定陈述句）,是（肯定陈述句）,不是（开语句）,例,1,判断下面的语句是否为命题,?,若是命题，指出它的真假。,(1),空集是任何集合的子集,.,(2),若整数,a,是素数,则,a,是奇数,.,(3),指数函数是增函数吗,?,(4),若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行,.,(5),(6),x15.,（是，真）,（是，真）,（是，假）,（是，假）,（不是命题）,（不是命题）,练习,判断下列语句是否是命题,.,（,1,）求证 是无理数。,（,2,）,（,3,）你是高二学生吗？,（,4,）并非所有的人都喜欢苹果。,（,5,）一个正整数不是质数就是合数。,（,6,）若 ，则,（,7,）,x+30.,(1)(3)(7),不是命题，,(2)(4)(5)(6),是命题。,“若,p,则,q”,形式的命题,命题“若整数,a,是素数，则,a,是奇数。”具有“若,p,则,q”,的形式。,q,p,通常,我们把这种形式的命题中的,p,叫做命题的,条件,q,叫做命题的,结论,。,“若,p,则,q”,形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果,p,那么,q”“,只要,p,就有,q”,等形式。,其中,p,和,q,可以是命题也可以不是命题,.,“,若,p,则,q”,形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活,.,“若,p,则,q”,形式的命题的书写,了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与结论。,对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先添补一些命题中省略的词句,确定条件与结论。,如命题,:,“,垂直于同一条直线的两个平面平行,”,。,写成,“,若,p,则,q,”,的,形式为：,若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。,例,2,指出下列命题中的条件,p,和结论,q,：,若,整数,a,能被,2,整除，则,a,是偶数；,菱形的对角线互相垂直且平分。,解：,1),条件,p,：,整数,a,能被,2,整除，,结论,q,：,整数,a,是偶数。,2),写成若,p,，则,q,的形式：若四边形是菱形，,则它的对角线互相垂直且平分。,条件,p,：,四边形是菱形，,结论,q,：,四边形的对角线互相垂直且平分。,例,3,把下列命题改写成“若,p,则,q”,的形式,并判定真假。,(1),负数的平方是正数,.,(2),偶函数的图像关于,y,轴对称,.,(3),垂直于同一条直线的两条直线平行,(4),面积相等的两个三角形全等,.,(5),对顶角相等,.,真,命题,真命题,假命题,假命题,真命题,练习,1,、将命题“,a0,时，函数,y=ax+b,的值随,x,值的增加而增加”改写成“,p,则,q”,的形式，并判断命题的真假。,解答,:a0,时，若,x,增加，则函数,y=ax+b,的值也随之,增加，它是真命题,在本题中，,a0,是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内,2,、把下列命题改写成“若,p,则,q”,的形式，并判断它们的真假,.,（,1,）等腰三角形两腰的中线相等；,（,2,）偶函数的图象关于,y,轴对称；,（,3,）垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1),若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。,(2),若函数是偶函数，则函数的图象关于,y,轴对称，这是真命题。,(3),若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。,命题及其关系,1.1.2,四种命题,回顾,交换原命题的条件和结论，所得的命题是,_,同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是,_,交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是,_,逆命题。,否命题。,逆否命题。,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式,:,原命题,:,逆命题,:,否命题,:,逆否命题,:,若,p,则,q,若,q,则,p,若,p,则,q,若,q,则,p,观察与思考,？,你能说出其中任意两个命题之间的关系吗,?,课堂小结,原命题,若,p,则,q,逆命题,若,q,则,p,否命题,若,p,则,q,逆否命题,若,q,则,p,互为逆否,同,真,同,假,互为逆否,同,真,同,假,互逆命题 真假,无关,互逆命题 真假,无关,互否命题真假,无关,互否命题真假,无关,2,）原命题：若,a=0,则,ab,=0,。,逆命题：若,ab,=0,则,a=0,。,否命题：若,a 0,则,ab0,。,逆否命题：若,ab0,则,a0,。,(真),(假),(假),(真),(真),2.,四种命题的真假,看下面的例子：,1,）原命题：若,x=2,或,x=3,则,x,2,-5x+6=0,。,逆命题：若,x,2,-5x+6=0,则,x=2,或,x=3,。,否命题：若,x2,且,x3,则,x,2,-5x+60,。,逆否命题：若,x,2,-5x+60,，则,x2,且,x3,。,(真),(真),(真),3,）原命题：若,x,A,B,，则,x,U,A,U,B,。,逆命题：,x,U,A,U,B,，,x,A,B,。,否命题：,x,A,B,，,x,U,A,U,B,。,逆否命题：,x,U,A,U,B,，,x,A,B,。,Help,假,假,假,假,四种命题的真假,有且只有下面四种情况,:,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,真,真,真,真,真,假,假,真,假,真,真,假,假,假,假,假,想一想？,（,2,）,若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。,由以上三例及总结我们能发现什么？,即,原命题与逆否命题同真假。,原命题的逆命题与否命题同真假。,（,1,）,原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否,命题不一定为真。,(,两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系,).,几条结论,:,1.,判断下列说法是否正确。,1,）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2,）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.,四种命题真假的个数可能为（）个。,答：,0,个、,2,个、,4,个。,如：原命题：若,AB=A,则,AB=,。,逆命题：若,AB=,，则,AB=A,。,否命题：若,ABA,，则,AB,。,逆否命题：若,AB,，则,ABA,。,（假）,（假）,（假）,（假）,3,）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4,）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,练一练,练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（,1,）若,q2,那么,q2-p,根据幂函数 的单调性，得,即,所以,因此,可能出现矛盾四种情况：,与题设矛盾；,与反设矛盾；,与公理、定理矛盾；,在证明过程中，推出自相矛盾的结论。,这些条件都与已知,矛盾,所以原命题,成立,证明,:,假设,不大于,则,或,因为,所以,例 用反证法证明：,如果,ab0,，,那么,.,练,圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在,O,中，弦,AB,、,CD,交于,P,，且,AB,、,CD,不是直径,.,求证：弦,AB,、,CD,不被,P,平分,.,证明：,假设弦,AB,、,CD,被,P,平分，,P,点一定不是圆心,O,，,连接,OP,，,根据垂径定理的推论，,有,OPAB,OPCD,即 过点,P,有两条直线与,OP,都垂直，,这与垂线性质矛盾，,弦,AB,、,CD,不被,P,平分。,若,a,2,能被,2,整除，,a,是整数，求证：,a,也能被,2,整除,.,证：假设,a,不能被,2,整除，则,a,必为奇数，,故可令,a=2m+1(m,为整数,),由此得,a,2,=(2m+1),2,=4m,2,+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明,a,2,是奇数，,这与题中的已知条件（,a,2,能被,2,整除）相矛盾,a,能被,2,整除,.,下列四个命题中，命题,(1),与命题,(2)(3)(4),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,若,f(x),是周期函数，则,f(x),是正弦函数；,若,f(x),不是正弦函数，则,f(x),不是周期函数；,若,f(x),不是周期函数，则,f(x),不是正弦函数。,观察命题,(1),与命题,(2),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,若,f(x),是周期函数，则,f(x),是正弦函数；,互逆命题,：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。,原 命 题,：其中一个命题叫做原命题。,逆 命 题,：另一个命题叫做原命题的逆命题。,p,q,q,p,即 原命题,:,若,p,则,q,逆命题,:,若,q,则,p,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。,原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢,?,观察命题,(1),与命题,(3),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,3.,若,f(x),不是正弦函数，则,f(x),不是周期函数,.,p,q,p,原命题,:,若,p,则,q,q,为书写简便,常把条件,p,的否定和结论,q,的否定分别记作,“,p”“,q”,否命题,:,若,p,则,q,互否命题 原命题,(,原命题的,),否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。,原命题与其否命题的真假是否存在相关性呢,?,观察命题,(1),与命题,(4),的条件和结论之间分别有什么关系？,若,f(x),是正弦函数，则,f(x),是周期函数；,4.,若,f(x),不是周期函数，则,f(x),不是正弦函数,.,p,q,q,原命题,:,若,p,则,q,p,逆否命题,:,若,q,则,p,互为逆否命题,原命题,(,原命题的,),逆否命题,例如，命题“同位角相等，