单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,讲,导数在研究函数中的应用,1,函,数的单调性与导数的关系,单调递增,一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在,某个区间,(,a,，,b,),内，如果,f,(,x,),0,，那么函数,y,f,(,x,),在这个区,间内,_,；如果,f,(,x,),0,，那么函数,y,f,(,x,),在这个区间,内,_.,单调递减,2,判别,f,(,x,0,),是极大、极小值的方,法,极大值,假设x0满足f(x0)0，且在x0的两侧 f(x)的导数异号，那么x0,是 f(x)的极值点，f(x0)是极值且如果 f(x)在x0两侧满足“左,正右负，那么x0是 f(x)的_点，f(x0)是极大值；如果 f(x),在 x0两侧满足“左负右正，那么 x0是 f(x)的_点，f(x0),是,_,极小值,极小值,1,f,(,x,),x,3,3,x,2,2,在区间,1,1,上的最大值是,(,),C,A,2,B,0,C,2,D,4,2,设,P,为曲线,C,：,y,x,2,2,x,3,上的点，且曲线,C,在点,P,A,),A,3函数 f(x)a3sinx，那么 f(x)(,A3a2cosxBa3cosx,C3a2sinxDcosx,4,函数,f,(,x,),x,3,15,x,2,33,x,16,的单调减区间为,_,闭区间,(,1,11),5,函数,y,x,3,3,x,9,的极小值是,_.,7,解析：,y,(,x,3,3,x,9),3,x,2,3,3(,x,1)(,x,1),，当,x,(,，,1),时，,y,0,，函数,y,x,3,3,x,9,递增；当,x,(,1,1),时，,y,0,，函数,y,x,3,3,x,9,递减；当,x,(1,，,),时，,y,0,，函数,y,x,3,3,x,9,递增；当,x,1,时，,y,极小值,7.,解析：,f,(,x,),3,x,2,30,x,33,3(,x,11)(,x,1),，由,(,x,11),(,x,1),0,得单调减区间为,(,1,11),亦可填写闭区间或半开半,考点,1,讨论函数的单调性,例 1：设函数 f(x)x33axb(a0),(1)假设曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求 a、b,的值；,(2)求函数 f(x)的单调区间与极值点,解题思路：此题考查利用导数研究函数的单调性和极值,此题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题的,a4 用到第(2)题中，从而防止讨论，当然这是错误的,【互动探究】,1函数 f(x)x3bx2cxd 的图像过点 P(0,2)，且在,点 M(1，f(1)处的切线方程为 6xy70.,(1)求函数 yf(x)的解析式；,(2)求函数 yf(x)的单调区间,考点,2,导数与函数的极值和最大,(,小,),值,例 2：函数 f(x)x33x29xa.,(1)求 f(x)的单调递减区间；,(2)假设 f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上,的最小值,解析：(1)f(x)3x26x9.,令 f(x)3，,所以函数 f(x)的单调递减区间为(，1)和(3，),(2)因为 f(2)81218a2a，,f(2)81218a22a，,所以,f,(2),f,(,2),因为在,(,1,3),上,f,(,x,)0,，,所以,f,(,x,),在,1,2,上单调递增，,又由于,f,(,x,),在,2,，,1,上单调递减，,因此,f,(2),和,f,(,1),分别是,f,(,x,),在区间,2,2,上的最大值和最,小值，,于是有,22,a,20,，解得,a,2.,故,f,(,x,),x,3,3,x,2,9,x,2,，,因此,f,(,1),1,3,9,2,7,，,即函数,f,(,x,),在区间,2,2,上的最小值为,7.,【互动探究】,2函数 f(x)ax3bx23x 在 x1 处取得极值，讨,论 f(1)和 f(1)是函数 f(x)的极大值还是极小值,错源：f(x0)0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件,例 3：函数 f(x)x33mx2nxm2 在 x1 时有极值,0，那么 m_，n_.,误解分析：对 f(x)为极值的充要条件理解不清，导致出现多解,【,互动探究,】,3,设,f,(,x,),是函数,f,(,x,),的导函数，,y,f,(,x,),的图像如图,),C,422，那么 yf(x)的图像最有可能的是(,图 422,解析：由导函数的图像知，导函数在x0和x2时的导,函数值为0，故原来的函数yf(x)在x0和x2时取得极值,当x0或x2时，导函数值为正(或0)，当0 x2时，导函,数值为负，所以当x0或x2时函数yf(x)为增函数，当0,x2 时，函数yf(x)为减函数，应选项为C.,考点,3,求参数的值或取值范围,例 4：函数 f(x)x3ax2bxc 图像上的点 P(1，2),处的切线方程为 y3x1.,(1)假设函数 f(x)在 x2 时有极值，求 f(x)的表达式；,(2)函数 f(x)在区间2,0上单调递增，求实数 b 的取值范,围,解题思路：f(x)在 xx0处有极值，等价于 f(x)0；,函数 f(x)在区间2,0上单调递增等价于 f(x)0 在2,0上,恒成立,解析：,f,(,x,),3,x,2,2,ax,b,，,因为函数,f,(,x,),在,x,1,处的切线斜率为,3,，,所以,f,(1),3,2,a,b,3,，,即,2,a,b,0,，,又,f,(1),得,1,a,b,c,2,得,a,b,c,1.,(1),函数,f,(,x,),在,x,2,时有极值，,所以,f,(2),12,4,a,b,0,，,联立以上三式：,解得,a,2,，,b,4,，,c,3,，,所以,f,(,x,),x,3,2,x,2,4,x,3.,求函数的解析式一般用待定系,法法，求参数的取值,范围一般需建立关于参数的不等式,(,组,),【,互动探究,】,4,设函数,f,(,x,),ax,3,bx,c,(,a,0),为奇函数，其图像在点,(1,，,f,(1),处的切线与直线,x,6,y,7,0,垂直，导函数,f,(,x,),的,最小值为,12.,(1),求,a,、,b,、,c,的值；,(2),求函数,f,(,x,),的单调递增区间，并求函数,f,(,x,),在,1,3,上的,最大值和最小值,1,求函数的极值的步骤,(1),确定函数的定义区间，求导数,f,(,x,),；,(2),求方程,f,(,x,),0,的根；,(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成假设,干小开区间，并列成表格检查 f(x)在方程根左右的值的符号，,如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，,那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x),在这个根处无极值,2,求函数最值的步骤,(1),求出,f,(,x,),在,(,a,，,b,),上的极值；,(2),求出端点函数值,f,(,a,),、,f,(,b,),；,(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值,