单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,4,章,锐角三角函数,中考要求,1,）基本概念：包括直角三角形的基本元素，边角关系，锐角三角函数等,2,）基本计算：包括对角的计算，对边的计算，应用某种关系计算等。,3,）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。,sin A,=,cos,A,=,tan A,=,cot A,=,知识 概要,（一）锐角三角函数的概念,分别叫做锐角,A,的,正弦、余弦、正切、余切,，统称为锐角,A,的三角函数,.,0,sin A,1,，,0,cos,A,1,这些,函数值之间有什么关系,？,（二）同角三角函数之间的关系,sin,A+cos,A=1,tanA,=,sinA,/,cos,A,tanA,cotA,=1,（三）互余两角三角函数之间的关系,sin A,=,cos,（,90,-A,）,tan A,=,cotA,（,90,-A,）,知识 概要,（四）三角函数值的变化规律,1,）当角度在,0-90,之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（,或减小,）而增大（,或减小,）,2,）当角度在,0-90,之间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（,或减小,）而减小（,或增大,）,1,1,角度,逐渐,增大,正弦值如何变化,?,正弦值也增大,余弦值如何变化,?,余弦值逐渐减小,正切值如何变化,?,正切值也随之增大,余切值如何变化,?,余切值逐渐减小,cot,tan,cos,sin,6 0,45,3 0,角 度,三角函数,0,90,0,1,0,0,1,不存在,不存在,0,（五）特殊的三角函数值,知识 概要,知识 概要,填空：比较大小,68,sin,3,）,（,知识 概要,（六）解直角三角形,由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。,若直角三角形,ABC,中，,C=90,，那么,A,，,B,，,C,，,a,b,c,中除,C=90,外，其余,5,个元素之间有如下关系：,1,）,a,+b,=c,2,）,A+B=90,3,）,b,a,AC,BC,A,的邻边,A,的对边,tanA,=,=,=,只要知道其中,2,个元素（至少要有一个是边）就可求出其余,3,个未知数,1,）仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做,仰角,；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做,俯角,.,知识 概要,（七）应用问题中的几个重要概念,以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于,90,0,的角,叫做方向角,.,如图所示：,30,45,B,O,A,东,西,北,南,2,）方向角,45,45,西南,O,东北,东,西,北,南,西北,东南,坡度通常写成,1,m,的形式，如,i,=16.,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作,a,，,有,i,=tan a,显然，坡度越大，坡角,a,就越大，坡面就越陡,.,在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度,.,如图,:,坡面的铅垂高度（,h,）和水平长度（,l,）,的比叫做坡面坡度（或坡比）,.,记作,i,即,I,=.,3,）坡度（坡比）,坡角的概念,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,1,）在,Rt,ABC,中，,C=90BC=a,，,AC=b,若,sinA,sinB,=2 3,，求,a b,的值,锐角三角函数的概念,解法,1,设,AB=c,由三角函数的定义得：,sinA,sinB,=a/c,b/c,=a b,a b=2/3,解法,2,由三角函数的定义得：,a=,csinA,b=,csinB,a/b=,csinA/csinB,a b=,sinA/sinB,=2/3,抓住三角函数的定义是解题的关键,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,锐角三角函数的概念,2,在,ABC,中,A,B,，,C=90,则下列结论正确的是（）,sinA,sinB,sin,A+sin,B=1,sinA,=,sinB,若各边长都扩大为原来的,2,倍，则,tanA,也扩大为原来的,2,倍,A)(1)(3)B)(2),C)(2)(4)D)(1)(2)(3),解析：令,a=3,b=4,则,c=5,sinA=3/5,sinB,=4/5,且,A,B,，易知,（,1,）（,3,）都不对，故选,B,）,用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式，是解决选择题的常用方法,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,特殊角的,三角函数值,2.,求特殊角的,三角函数值,A,）锐角三角形,B,）直角三角形,D,）钝角三角形,C,）等边三角形,C,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,特殊角的,三角函数值,2.,求特殊角的,三角函数值,点评 融特殊角的三角函数值，简单的无理方程的计算以及数的零次幂的意义于一体是中考命题率极高的题型之一,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,2.,求特殊角的,三角函数值,3.,互余或同角的三角函数关系,互余或同角的三角函数,5.,下列式中不正确的是（）,C,点评,：应用互余的三角函数关系进行正弦与余弦的互化，并了解同一个锐角的三角函数关系，能运用其关系进行简单的转化运算，才能解决这类问题。,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,2.,求特殊角的,三角函数值,3.,互余或同角的三角函数关系,互余或同角的三角函数,6,在,ABC,中,C=90,化简下面的式子,7,在,ABC,中,C=90,且,求,cosA,的值,点评：利用互余或同角的三角函数关系的相关结论是解决这类问题的关键,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,2.,求特殊角的,三角函数值,3.,互余或同角的三角函数关系,4.,解直角三角形,解直角三角形,点评,：由于三角函数是边之间的比，因此利用我们熟知的按比例设为参数比的形式来求解，是处理直角三角形问题的常用方法。,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,2.,求特殊角的,三角函数值,3.,互余或同角的三角函数关系,4.,解直角三角形,解直角三角形,A,B,C,8.,如图小正方形的边长为,1,，连结小正方形的三个顶点得到,ABC,，则,AC,边上是的高（）,点评,：作,BC,边上的高，利用面积公式即可求出,AC,边的高，,面积法,是解决此类问题的有效途径,考点范例解析,1.,锐角三角函数的概念关系,2.,求特殊角的,三角函数值,3.,互余或同角的三角函数关系,4.,解直角三角形,5.,解直角三角形的应用,解直角三角形的应用,9.,如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆,AB,，已知观测点,C,到旗杆的距离（即,CE,的长）为,8,米，测得旗杆顶 的仰角,ECA,为,30,旗杆底部的俯角,ECB,为,45,则旗杆,AB,的高度是（）米,C,A,B,D,E,E,点评：此题属于解直角三角形的基本应用题,测量问题,，要明确,仰角,和,俯角,，然后数形结合直接从图形出发解直角三角形,.,解直角三角形的应用,10.,如图某船以每小时,30,海里的速度先向正东方向航行，在点,A,处测得某岛,C,在北偏东,60,的方向上，航行,3,小时到达点,B,，测得该岛在北偏东,30,的方向上且该岛周围,16,海里内有暗礁,（,1,）试证明：点,B,在暗礁区外；,（,2,）若继续向东航行有无触暗礁的危险？,D,解：,1,）由题意得，,CAB=30,，,ABC=120,，则,C=30,，,BC=AB=30,3=90 16,点,B,在暗礁区外,.,2),如图过点,C,作,CDAB,交,AB,的延长线于,D,点，设,BD=x,，在,Rt,BCD,中，,CBD=60,，,船继续向东航行没有触礁的危险。,解直角三角形的应用,11,）如图,AM,，,BN,是一束平行的阳光从教室窗户,AB,射入的平面示意图，光线与地面所成的角,AMC=30,，在教室地面的影长,MN=,米，若窗户的下檐到教室地面的距离,BC=1,米，则窗户的上檐到教室地面的距离,AC,为（）米,B,此题属于光学问题的基本应用，首先要对有关生活常识有所了解，从图形入手，数形结合，将已知信息转化为解直角三角形的数学模型去解。,解直角三角形的应用,12,）如图，一张长方形的纸片,ABCD,，其长,AD,为,a,，宽,AB,为,b(a,b),，在,BC,边上选取一点,M,，将,ABM,沿着,AM,翻折后，,B,至,N,的位置，若,N,为长方形纸片,ABCD,的对称中心，求,a/b,的值。,3,点评,：,此题是创新综合题，要求我们对图形及其变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直角三角形知识或勾股定理建立等式求解。,解直角三角形的应用,13,）,一艘轮船以,20,海里,/,时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以,40,海里,/,时的速度由南向北移动，距台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到,A,处时，测得台风中心移到位于点,A,正南方向,B,处，且,AB=100,海里,（,1,）若该轮船自,A,按原速度原方向继续航行，在途中会不会遇到台风？,东,北,A,B,解直角三角形的应用,13,）,一艘轮船以,20,海里,/,时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以,40,海里,/,时的速度由南向北移动，距台风中心 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到,A,处时，测得台风中心移到位于点,A,正南方向,B,处，且,AB=100,海里,（,2,）若该轮船自,A,立即提高船速，向位于东偏北,30,方向，相距,60,海里的,D,港驶去继续航行，为使船在台风到达之前到达,D,港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数）,东,北,A,B,D,30,