单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学史：从象牙塔到小学课堂,江苏启东市教育局教研室 蔡宏圣,博客：,1,数学史：从象牙塔到小学课堂江苏启东市教育局教研室 蔡宏圣1,话题的背景,在很多小学老师的视界中，数学教育缺失了一只眼睛。,例,数学史的运用在当下的课堂是种时尚。,时尚中的缺憾：,爱国主义 标签 学生感受,例,2,话题的背景在很多小学老师的视界中，数学教育缺失了一只眼睛。例,“三角形的认识”中的教学意外,3,“三角形的认识”中的教学意外3,4,4,思 辨,数学史的运用是为了数学史的教学还是为了数学的教学？,数学史的运用是外在于课堂教学要素还是内化于课堂教学要素？,5,思 辨数学史的运用是为了数学史的教学还是为了数学的教学？5,数学史内化于课堂要素,教师、学生、教学内容是不可缺失的课堂教学三个基本要素。,之于教师，数学史是调适数学观念的重要基础,之于学生，数学史是把握思维历程的独特视角,之于教学内容，数学史是厘清数学本质的厚实背景,6,数学史内化于课堂要素教师、学生、教学内容是不可缺失的课堂教学,对数学的理解不同教学方式也不同,7,对数学的理解不同教学方式也不同7,8,8,数学本质对于数学教学的影响,英国著名数学教育家斯根普说，“我先前总认为数学教师都是在教同样的学科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在数学这同一个名词下所教的事实上是两个不同的学科。”,9,数学本质对于数学教学的影响英国著名数学教育家斯根普说，“我,现场调查,说起数学，你脑海中浮现下面哪些词？,抽象 严谨 生活常识,直观 具体 枯燥,符号 形式化 逻辑,证明 计算 有趣,猜测 错误 准确,10,现场调查说起数学，你脑海中浮现下面哪些词？10,数学教师的数学观,数学教师更倾向于把数学看成一个与逻辑有关的、有严谨体系的、关于图形和数量的精确运算的一门学科。（香港学者 黄毅英）,教师的数学观源自自身的数学学习经历和教学经验。,11,数学教师的数学观数学教师更倾向于把数学看成一个与逻辑有关的、,抽象和严谨是数学的本来面目吗？,十进制与十指,坐标与蜘蛛,克拉与种子,正负数与颜色,各种符号的意义（自然和方便为上）,等号,字母,12,抽象和严谨是数学的本来面目吗？十进制与十指12,等号的产生和方程有关。15世纪就有人用水平的破折号“”表示等号。公元1557年，英国御医、牛津大学数学教授雷科德首先将一条破折号上平行地添加一条，放两条平行线，同样长的一对双生子“=”表示相等，任何两件东西，不可能比它们更相等了。,13,等号的产生和方程有关。15世纪就有人用水平的破折号“”表,米,m,etre m,千米,k,ilo,m,etre km,分米,d,eci,m,etre dm,厘米,c,enti,m,etre cm,毫米,m,illi,m,etre mm,吨,t,on t,克,g,ram g,千克,k,ilo,g,ram kg,14,米 metre m14,抽象和严谨是公理化的要求,数学的抽象、严谨只是一门数学分支成熟立说时的“外衣”。数学在其诞生之初，充满着浓郁的生活常识的痕迹，认识过程充满了曲折、猜测、直观，乃至错误和不可思议。,一个数学知识最原始的部分，既不神秘也不严谨，没有一点形式逻辑的印记，认识的提升恰恰带有浓重的按照生活事理逻辑自然衍生的痕迹。,15,抽象和严谨是公理化的要求数学的抽象、严谨只是一门数学分支成熟,数学两重性对数学教学的启示,数学内容的形式性和数学发现的经验性,一个数学教师应该在在数学的具体源头和抽象形式之间来回穿行，关注儿童们生活经验的现实，寻找数学知识的逻辑源头，领悟其间的数学过程和思想方法，由此，组织的数学教学可以顺应着生活事理的逻辑走向，孩子们的学习可以像呼吸一样自然和朴素。,16,数学两重性对数学教学的启示数学内容的形式性和数学发现的经验性,案例：乘法的初步认识,17,案例：乘法的初步认识17,总结一,一个认真研读数学史的教师，就可以自我调适建立在经验层面上零散的、片面的数学观念，虽然形成的先进数学观念也不系统，但在某一方面能更切合数学发展的本来面目。,数学史起码提供了这样的视角，让我们看到了数学的深刻和抽象实际上孕育在具体和直观中，,也许在课堂中我们看不到显性的、事实性的数学史实，但却能影响着一个教师的数学教育思想-,努力用浅显的情境去凸显数学思想的深刻内涵，使得数学教育具体中见深邃，浅显中见厚重，使得教学能焕发出思想的光芒、经典的力量。,18,总结一一个认真研读数学史的教师，就可以自我调适建立在经验层面,读懂儿童是教育促进发展的前提,就数学学习来说，读懂儿童不是泛化意义上追求对儿童的理解，而应突出地表现为细腻地、科学地对儿童在数学学习中思维活动做深入的了解和分析，大致把握儿童在数学学习中可能出现的困难。,匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”,19,读懂儿童是教育促进发展的前提就数学学习来说，读懂儿童不是泛化,案例：认识负数,中国是最早认识和使用负数的国家。据早在2000多年前的九章算术记载，那时的人就有了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”的思想。1700多年前，我国数学家刘徽在注解九章算术时，更明确地提出了正负数的概念，并用不同颜色的算筹来表示它们。这些认识中国比印度要早600多年，比西方国家要提前1500多年。,20,案例：认识负数中国是最早认识和使用负数的国家。据早在2000,基于数学史实的追问,现在看似理所当然的事情，在最初认识负数的时候，有哪些困难？难，难在哪里？,使用负数到接纳负数，那是两个不同的认识阶段。那接纳负数，意味着在理性认识上要建构起哪些认识？,生活中相反意义的量，一个用正数表示，一个就用负数表示，怎样让孩子们认识到0在其中的重要作用？,在历史上，数学家们在认识的提升中遇到了什么困难？他们的困难对于儿童的数学学习有无借鉴意义？,21,基于数学史实的追问现在看似理所当然的事情，在最初认识负数的时,“荒谬”的负数,在数学史上，把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的人不在少数，其中不乏当时的大数学家。（不能指物为数）,德国数学家斯蒂菲尔在整数算术中称从零中减去一个大于零的数，得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。,1表示一件物体，2表示两件物体，0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？,22,“荒谬”的负数在数学史上，把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数,“认识负数”教学的重构,重构“0”的意义，和已有认识的实现融通，才赋予了负数的理性意义。,23,“认识负数”教学的重构重构“0”的意义，和已有认识的实现融通,总结二,人类完成了一次认识的跨越之后，回顾头来看往往认为那是理所当然的事情，因此，作为教师要准确把握学生在初次学习中的学习障碍就有难度，而历史上数学家们在当初认识提升的过程中，留下的困惑和挫折却为我们了解此问题提供了独特的不可替代的视角。,关注数学历史中人类认识的挫折和失败，据此琢磨人类认识提升所经历的阶段，其中走过的弯路、碰到的认知障碍等等，为准确把握学生学习的思维历程提供了一种可能,。,24,总结二人类完成了一次认识的跨越之后，回顾头来看往往认为那是理,数学本质之于数学教学的意义,在哲学层面上，有这样的数学教育规律：问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。研究所教内容的数学本质，是数学教学的永恒话题。,25,数学本质之于数学教学的意义在哲学层面上，有这样的数学教育规律,数学史是厘清数学本质的厚实背景,课堂中我们所接触到的数学知识体系，是经过精心组织的公理化的结果，已经和其历史过程割裂开来。但一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它的最终形式化表述，普通人就很难深入把握其确切的本质意义。,英国数学家阿蒂亚爵士说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。最重要的信息却常常包括在容易的部分，甚至在几个简单且深刻的观察之上！,26,数学史是厘清数学本质的厚实背景课堂中我们所接触到的数学知识体,案例：用字母表示数,例如，“用字母表示数”在教材配套的教师用书中，对其重要作用表述为这是人类认识的一次飞跃，但教师实际上很难理解其真正的意义。反而有教师认为，用字母表示数是因为不知道这个数是多少。,27,案例：用字母表示数例如，“用字母表示数”在教材配套的教师用书,让历史告诉我们（1）,初等代数的中心内容是解方程。,最早的代数问题：,已知“堆”（音：何）与七分之一“堆”相加得19，求“堆”的值。,人类在解方程中的探索是按照两条线索展开的。,28,让历史告诉我们（1）初等代数的中心内容是解方程。28,让历史告诉我们（2）,阿拉伯数学家阿尔花拉子米和他的还原和对消的科学。,把一个正方形面积加上其一边长度之十倍等于39时，此正方形必是什么（用现代符号表示即为x210 x=39）?花氏的解答为：把所加边长的倍数除以2，得5。把该数自乘，得乘积25。把此数与39相加，得64。取此数的平方根得8，从该数中减去边长倍数之半，剩下3。此即所求正方形的边长，因而所求正方形面积等于9。,29,让历史告诉我们（2）阿拉伯数学家阿尔花拉子米和他的还原和,让历史告诉我们（3）,古埃及人用“堆”来表示特定的未知数；古中国，曾经用天、地、人、物四个汉字来表示四个未知数；花拉子米本人在用完整的文字来叙述方程解法的同时，也没有妨碍他把未知量称为“东西”或（植物的）“根”。,古希腊丢蕃图是最早使用简略记号的代数学家。在他的著作里，将未知数称为“题中的数”，并用希腊字“数”的第一个音节的缩写来表示。,30,让历史告诉我们（3）古埃及人用“堆”来表示特定的未知数；古中,让历史告诉我们（4）,一个个音节的缩写，使得每一个缩写其本身都具有先入为主的意义，因而就只能表示一个个特定的数量，只不过有所简略而已。因此，一个个方程都各具独自的特点，意大利数学家卡当的巨著大法中记录的方程种类有66中之多。,17世纪，法国数学家韦达寻找能求解各种方程的通用方法。,31,让历史告诉我们（4）一个个音节的缩写，使得每一个缩写其本身都,让历史告诉我们（5）,韦达在分析方法引导的名著中这样写道：,在这里，我们用一种技巧来帮助我们区别已给的量和所求的或未知的量，这就是用一种有永久性质的、易于理解的符号体系例如，用A或其他母音字母表示未知量，用B、C、G或其他子音字母表示已知量。,32,让历史告诉我们（5）韦达在分析方法引导的名著中这样写道：,让历史告诉我们（6）,重要里程碑意义：,超越了各类数量的具体特点，从一般意义上用字母来表示它们，滤去了原先代数活动中的具体意义，省略了数学关系的实际情境，去掉了实际语言带来的差别。这样，就把原先各具特点的方程归结成了通用的形式，使得代数变得能适应所有场合的普遍情况，极大地扩展了代数的应用范围。,33,让历史告诉我们（6）重要里程碑意义：超越了各类数量的具体特点,读 史 明 智,用字母表示数意味着：,缩写符号,未知量已知量,特定变化,人类认识提升的三个阶段：文辞代数 缩写代数符号代数。,34,读 史 明 智用字母表示数意味着：34,总结三,抽象的数学概念只有放在历史背景中，和抽象活动的历史过程结合起来，才能变简练为丰富、变艰涩为生动，才能较完整地呈现出其经验性和演绎性二重统一的本质，进而才能更容易被后来的学习者调动起全部的经验积累来支撑其建构概念的全部含义。我们,要在数学知识的学校形态、科学形态和原始形态之间来回穿梭，从更宽广的视野研读教材，思索领悟知识的数学本质、思想内核，把握人类认识提升的大致过程。,只有这样，才能为学生对数学获得更好的理解提供生长点。,35,总结三抽象的数学概念只有放在历史背景中，和抽象活动的历史过程,从数学史到数学教育,小学