,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.4,基本不等式,:,2024/11/16,3.4基本不等式:2023/8/28,1,2002,年国际数学大会（,ICM-2002,）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的,“,弦图,”,。,它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。,一、问题引入,2024/11/16,2002年国际数学大会（I,2,新课探究,2024/11/16,新课探究2023/8/28,3,新课探究,2024/11/16,新课探究2023/8/28,4,一般地，对于任意实数 ，我们有,当且仅当 时等号成立,思考：,如何证明？,2024/11/16,一般地，对于任意实数 ，我们有 当且仅,5,证明：,当且仅当 时，此时,2024/11/16,证明：当且仅当 时，,6,2.,代数意义：,几何平均数小于等于算术平均数,2.,代数证明,:,3.,几何意义：,半弦长小于等于半径,（,当且仅当,a=b,时,，,等号成立,）,二,、,新课讲解,算术平均数,几何平均数,3.,几何证明,:,从数列角度看,:,两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.,思考,:,如果当 用 去替换,中的,能得到什么结论,?,基本不等式,探究,3,2024/11/16,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.,7,2024/11/16,2023/8/28,8,当且仅当,a=b,时，取,“,=,”,号,能否用不等式的性质进行证明？,小组合作：,2024/11/16,当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？小组,9,在右图中，,AB,是圆的直径，,点,C,是,AB,上的一点，,设,AC,=,a,BC,=,b,。,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,，,连接,AD,、,BD,。,基本不等式的,几何意义是：“,半径不小于半弦。,”,E,P98,探究,2024/11/16,在右图中，AB是圆的直径，基本不等式的几何意义是：“半径不小,10,o,a,b,A,B,P,Q,1.,如图,AB,是圆,o,的直径，,Q,是,AB,上任一点，,AQ=,a,BQ=,b,过点,Q,作垂直于,AB,的弦,PQ,，连,AP,BP,则半弦,PQ=,_ _,半径,AO=,_,几何意义：,圆的半径不小于圆内半弦长,探究,4,动态演示,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,2.PQ,与,AO,的大小关系怎样,?,2024/11/16,oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，,11,证明,:,要证,只要证,(),要证，只要证,(),要证，只要证,（,),显然,:,是成立的,当且仅当 时,中的等号成立,.,证明,:,当 时,.,探究,2024/11/16,证明:要证只要证 (,12,平方,2024/11/16,平方2023/8/28,13,基本不等式：,当且仅当,a,=b,时，等号成立,.,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,重要不等式：,注意：,（,1,）不同点：两个不等式的,适用范围,不同。,（,2,）相同点：当且仅当,a=b,时，等号成立。,2024/11/16,基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，,14,2.,基本不等式,（均值定理）,1.,两个正数的算术平均数,不小于,它们的几何平均数,.,2.,两个正数的等差中项,不小于,它们的等比中项。,此定理又可叙述为：,2024/11/16,2.基本不等式1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,15,1.,重要不等式,2.,基本不等式（均值定理）,注意：,基本不等式成立的要素：,（,1,）：看是否均为正数,（,2,）：看不等号的方向,（,3,）：看等号是否能取到,简言之：一正二定三相等,2024/11/16,1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立,16,1.,基本不等式：,a,=,b,基本不等式的变形：,知识要点：,（当且仅当,_,时取“”号）,（,当且仅当,a,=,b,时取“”号）,如果,a,0,，,b,0,，那么,2024/11/16,1.基本不等式：a=b基本不等式的变形：知识要点：（当且仅,17,重要变形,2,（由小到大）,2024/11/16,重要变形2（由小到大）2023/8/28,18,应用基本不等式求最值的条件：,a,与,b,为正实数,若等号成立，,a,与,b,必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小,和定积最大,（,a,0,，,b,0,）,2024/11/16,应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b,19,基本不等式,当且仅当,时等号成立,当且仅当,时等号成立,结论,1,：,两个正数积为定值，则和有最小值,结论,2,：,两个正数和为定值，则积有最大值,2024/11/16,基本不等式当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立结论1：两个正,20,例题：,2024/11/16,例题：2023/8/28,21,练习：,2024/11/16,练习：2023/8/28,22,例,3,求函数 的最大值，及此时,x,的值。,解：，因为,x,0,，,所以,得,因此,f,(,x,),2024/11/16,例3求函数,23,当且仅当 ，即 时，式中等号成立。,由于,x,0,，所以 ，式中等号成立，,因此 ，此时 。,2024/11/16,当且仅当 ，即 时，式,24,例、已知正数,x,、,y,满足,2x+y=1,，求,的最小值,错解,:,即 的最小值为,过程中两次运用了,均值不等式中取,“,=,”,号过渡，而这两次取,“,=,”,号的条件是不同的，,故结果错。,错因：,2024/11/16,例、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解:即,25,已知正数,x,、,y,满足,2x+y=1,，求,的最小值,解,:,当且仅当,即,:,时取“,=”,号,即此时,正确解答是,:,2024/11/16,已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:当且仅当即:时,26,2,、已知,则,x y,的最大值是,。,1,、当,x,0,时，的最小值为,，此时,x,=,。,2,1,3,、若实数 ，且 ，则 的最小,值是（）,A,、,10,B,、,C,、,D,、,D,2024/11/16,2、已知1、当x0时，的最小值为,27,4,、在下列函数中，最小值为,2,的是（）,A,、,B,、,C,、,D,、,C,2024/11/16,4、在下列函数中，最小值为2的是（）C2023/8/2,28,下面几道题的解答可能,有错,，如果,错了,，那么,错,在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时,x,的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“,正数,”这个条件,2024/11/16,下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？,29,已知函数，,求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“,定值,”这个条件,2024/11/16,已知函数，用均值不等式求,30,